정적분으로 정의된 함수가 나오는 순간 어디서 시작해야 할지 몰라서 멈췄나요?
아니면 g'(x)까지는 구했는데 f(x)를 어떻게 추론해야 할지 몰라서,
아무 함수나 그려보다가 조건에 맞지 않아 포기했나요?
이 문제는 읽으며 처리해야 할 것들을 빠짐없이 소화하고,
f(x)를 특수한 경우부터 순서대로 좁혀가는 루틴이 갖춰져 있어야 끝까지 풀려요.
특히 특수한 경우가 조건을 만족하는 것처럼 보여도 일반적인 경우를 반드시 점검해야 해요.
반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.
글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.
수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.
21번 문제의 정체 : 정적분 함수 해석 + 삼차함수 추론으로 f(x)를 확정하는 문제
이 문제의 흐름을 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.
정적분으로 정의된 g(x)를 상수 대입·양변 미분으로 해석하고,
f(x)를 특수한 경우부터 추론해 (가),(나) 조건을 만족하는 경우를 확정한 뒤
정적분 계산으로 마무리하는 문제
조건 해석 자체는 비교적 쉬운 편이에요.
읽으며 처리하는 것들이 자동화되어 있는지,
함수 추론 루틴이 갖춰져 있는지가
이 문제의 실질적인 평가 기준이에요.
풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트
(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)
① 읽으며 해야 할 것들을 다 했는가? 최고차항 계수가 1이라는 조건과 f(0)=0은 각각 삼차식 계수의 미지수를 하나씩 확정해줘요. 정적분으로 정의된 함수는 적절한 상수를 대입하고 양변을 미분해야 해요. 이 두 가지가 자동으로 나와야 해요.
② f(x)를 먼저 그려야 g'(x), g(x)를 그릴 수 있다는 순서를 인지했는가? (가),(나)는 g'과 g에 관한 조건이에요. 따라서 f(x)를 먼저 추론해야 g'(x)를 그릴 수 있고, g'(x)를 바탕으로 g(x)를 그릴 수 있어요. 이 순서가 보여야 함수 추론을 시작할 수 있어요.
③ 특수한 경우가 가능해 보여도 일반적인 경우를 점검했는가? 특수한 경우는 조건이 과다해서 오히려 다른 조건과 모순이 생길 수 있어요. 추론 해나가다가 특수한 경우에서 답이 나온 것처럼 보여도 일반적인 경우가 추가로 가능한지 반드시 확인해야 해요.
Step 1. 읽으며 할 것들 — 정적분으로 정의된 함수 해석
최고차항의 계수가 1이라는 조건과 f(0)=0은
각각 미지수 하나씩을 확정해줘요.
삼차함수의 계형 경우의 수가 절반으로 줄어들고,
f(x)가 원점을 지난다는 것도 알 수 있어요.
f(x)를 직접 미지수로 세워 계산할 때 나머지 미지수가 2개만 남아요.
문제지에 표시하고 넘어가야 해요.
정적분으로 정의된 함수는 두 가지 작업이 자동으로 나와야 해요.
첫째, 적절한 상수를 대입해요.
정적분의 위끝과 아래끝을 같게 만드는 상수가 가장 좋아요.
이 경우 x=0을 대입하면 위끝과 아래끝이 같아져요.
g(0)=0임을 알 수 있어요.
둘째, 양변을 x에 대해 미분해요.
위 식처럼 |f(x)|의 경우
f(x)≥0인 구간과 f(x)<0인 구간으로 나눠 g'(x)를 간단히 정리할 수 있어요.
Step 2. (가),(나) 조건 해석 — f(x) 추론 시작
(가) 조건을 읽을 때 step1에서 구한 g'(x) 식을 보면
g'(x)=0인 구간과 f(x)≥0인 구간이 같은 조건임을 바로 알아차릴 수 있어야 해요.
(가),(나)를 전부 읽었다면 g'과 g에 관한 조건이므로,
f(x)가 먼저 나와야 g'(x)를 그릴 수 있고, g'(x)를 바탕으로 g(x)를 그릴 수 있어요.
따라서 f(x)의 함수 추론을 먼저 시작해야 해요.
늘 강조하듯이 가장 특수한 경우부터 시작해야 해요.
f(0)=0이 있으므로 x=0에서 삼중근을 갖는 경우가 가장 특수해요.
x=0에서 삼중근을 갖는 경우
g'(x) 식에서 f(x)<0인 구간에서는 2f(x), f(x)≥0인 구간에서는 0이에요.
g(x)는 g(0)=0을 기준으로 그릴 수 있어요.
그런데 g(2)>0이에요. (나) 조건에서 g(2)=-8이므로 부호상 바로 불가예요.
여기서 한 가지 중요한 관찰이 필요해요. k의 최솟값이 0이에요.
f(x)=x3이면 x>0에서 f(x)≥0이므로 g'(x)=0이 되고, g(x)는 x>0에서 상수예요.
따라서 (가)를 만족하는 k의 최솟값이 0이 돼요.
이 과정을 생각해보면, k의 최솟값이 2가 되려면 f(2)=0이 나와야 해요.
f(2)=0이면 x=2 이후로 g'(x)=0이 되어 k의 최솟값이 2가 되거든요.
이 관찰이 다음 경우의 수를 좁혀주는 핵심이에요.
Step 3. 가능한 경우 찾기 — f, g', g 확정
f(2)=0이어야 하고, x=2 이후로 f(x)≥0이어야 해요.
f(0)=0, f(2)=0을 만족하는 삼차함수를 경우별로 살펴볼게요.
(ⅰ) f(x) = x² (x-2)인 경우
g(2)<0이므로 부호상 가능한 경우예요.
그런데 바로 식을 확정하면 안 돼요. 이 경우는 너무 특수할 수 있기 때문이에요.
특수한 경우가 조건을 만족하는 것처럼 보여도, 조건이 과다해서 다른 조건과 모순이 생기는 경우가 있어요.
x=0에서 굳이 중근을 가질 필요가 없는데 중근을 갖는다고 가정했을 때 이런 문제가 생길 수 있어요.
반드시 일반적인 경우를 점검해야 해요.
g(2)를 직접 계산할게요.
g(0)=0이므로 0부터 2까지 g'(x)를 정적분하면 g(2)가 나와요.
0부터 2까지 g'(x)=2f(x)이므로 다음과 같아요.
g(2) = -8/3이므로 -8이 아니에요.
조건에 부합하지 않아요.
(ⅱ) f(x) = x(x-2)(x-α), 0<α<2인 경우
0과 2 사이에 α라는 근이 하나 더 있는 경우예요.
g(2)<0 조건은 만족해요.
g(2)=-8인지 정적분으로 확인해야 해요.
g'(x)는 0부터 α까지 0이므로 α부터 2까지 정적분해야 해요.
정리하면 α에 관한 4차방정식이 나오는데,
0<α<2 범위에서 이를 만족하는 α가 존재하지 않아요.
α가 없다는 것은 다음과 같이 보일 수 있어요.
좌변은 4보다 큰데 우변이 4라서 만족할 수 없어요.
다만, 시험장에서는 이것을 보이는 과정은 필요 없어요.
1이나 다른 수를 넣어봤을 때,
상수항에 +32가 포함되어 등식이 성립할 수 없다는 것을 느끼고
다음 경우로 넘어가야 해요.
(ⅲ) f(x) = x(x-2)(x-α), α<0인 경우
α가 가장 작은 근인 경우예요.
g'(x)는 α부터 0까지 0이므로
0부터 2까지 정적분한 값이 g(2)예요.
α가 α<0 범위를 만족해요.
f(x)의 식이 확정됐어요.
참고로 α>2인 경우는
(가) 조건에서 k의 최솟값이 2가 될 수 없으므로 바로 배제할 수 있어요.
Step 4. 마무리 계산
f(x)의 식이 확정됐으므로 답을 구할게요.
따라서 정답은 48이에요.
정리하며
이 문제는 조건 해석 자체보다
읽으며 처리하는 것들이 자동화되어 있는지,
함수 추론 루틴이 갖춰져 있는지를 평가하는 문제였어요.
정적분으로 정의된 함수가 나오면 상수 대입과 양변 미분을 자동으로 실행하는 것,
f(x)부터 순서대로 추론하는 것,
그리고 특수한 경우가 가능해 보여도 일반적인 경우까지 반드시 점검하는 것.
이 세 가지 루틴이 몸에 배어 있어야 해요.
특히 세 번째가 이 문제의 핵심이에요.
특수한 경우에서 답이 나온 것처럼 느껴졌을 때 멈추지 않고 한 번 더 점검하는 습관,
시험장에서 이걸 실천할 수 있는 사람이 틀리지 않아요.
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읽어주셔서 감사해요! 다음 글은 2026년 3월 모의고사 수학 22번으로 돌아올게요.