2026년 3월 모의고사 수학 미적분 30번 풀이 : 등비수열 수렴 조건·첫째항 0 — 이 두 경우를 나누지 않으면 시작부터 틀려요

 

k, a, b가 뒤섞인 조건을 보고 어디서부터 시작해야 할지 몰라서,

세 미지수를 동시에 다루려다 방향을 잃었나요?

 

등비수열 형태의 극한이 수렴한다는 조건만 생각하고,

첫째항이 0인 경우를 통째로 빠뜨려서 순서쌍을 못 찾았나요?

 

이 문제의 출발점은 단 하나예요.

a=0인 경우와 a≠0인 경우를 나누는 것.

그 다음은 k를 고정시키고 (a,b)의 개수를 세는 거예요.

이 순서만 지키면 나머지는 따라와요.

 

반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.

 

글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.

수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.

 

 

 

3모 미적분 30번 문제 원본

 

 

 

 

30번 문제의 정체 : 등비수열 수렴 조건 분류 + k 고정 후 (a,b) 개수 탐색

 

이 문제의 흐름을 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.

 

등비수열 형태의 극한식에서 a=0과 a≠0으로 나눈 뒤,
k를 고정시켜 (a,b)의 개수가 19개인 k를 찾는 문제

 

 

첫째항이 0인 경우를 빠뜨리는 것이 이 문제의 가장 흔한 실수예요.

또, 풀이 내내 k가 고정값이고 (a,b)의 개수를 센다는 순서를 놓치지 않아야 해요.

 

 

 

 

풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트

(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)

 

① 등비수열 형태의 수렴 조건을 두 가지로 나눴는가? 공비가 -1 초과 1 이하이거나, 첫째항부터 전부 0인 경우예요. 첫째항이 0이면 등비수열이라 부를 수 없지만 형태는 등비수열로 나타낼 수 있어요. 빠뜨리지 말아야 해요.

 

② k를 고정하고 (a,b)의 개수를 센다는 순서를 끝까지 인지했는가? 풀이 중간에 k, a, b가 섞이더라도 k는 고정값이고 (a,b)의 개수를 세야 한다는 것을 항상 떠올려야 해요.

 

③ k를 1부터 차례로 늘려가며 규칙성을 파악했는가? k는 20 이하의 자연수이므로 20개 전부 확인할 수도 있지만, 수열처럼 1부터 대입해가며 규칙성을 먼저 발견하는 게 더 자연스러워요.

 

 

 

 

Step 1. 극한 수렴 조건 분류 — a=0과 a≠0으로 나누기

 

극한식 내부가 등비수열 형태예요.

 

두 극한식이 수렴하고 그 값이 같으려면 다음 두 경우로 나뉘어요.

 

• 첫째항이 0인 경우 (a=0)
• 공비가 -1 초과 1 이하인 경우 (a≠0)

 

이 두 경우로 나누는 것이 풀이의 출발점이에요.

 

---

 

① a=0인 경우

 

두 극한식이 0으로 수렴하려면

공비가 1보다 작아야 해요.

 

 

 

결과적으로 k에 따라 가능한 b의 범위가 결정되고,

정수 b의 개수가 (a,b) 순서쌍의 개수가 돼요.

 

---

 

② a≠0인 경우

 

극한식 내부가 등비수열이므로

공비 r에 대해 -1 < r ≤ 1 조건이 성립해야 해요.

 

 

 

a, b가 정수이므로 관계식을 만족하는 경우는 두 가지예요.

 

② - (ⅰ) a+b=0인 경우

 

 

 

k가 20 이하의 자연수이므로 이 경우는 없어요.

 

② - (ⅱ) a+b=1인 경우

 

 

 

|a|=1이므로

a=1일 때 b=0, a=-1일 때 b=2예요.

단, 이 순서쌍은 k=18일 때만 추가돼요.

k≠18이면 이 경우는 없어요.

 

 

 

 

Step 2. k 고정 후 (a,b) 개수 탐색 — 수열처럼 1부터

 

Step 1의 결론을 정리하면 다음과 같아요.

• a=0인 경우 : k에 따라 b의 범위가 결정되고(10-k/2<b<10+k/2), 그 범위 안의 정수 개수만큼 순서쌍이 생겨요.
• a≠0인 경우 : k=18일 때만 (1,0), (-1,2) 두 순서쌍이 추가돼요.

 

이제 k를 1부터 늘려가며 (a,b)의 개수를 관찰할게요.

 

 

k	a=0 범위	가능한 b	a≠0 추가	총 개수
1	9.5 < b < 10.5	b=10 → 1개	없음	1개
2	9.0 < b < 11.0	b=10 → 1개	없음	1개
3	8.5 < b < 11.5	b=9,10,11 → 3개	없음	3개
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
17	1.5 < b < 18.5	b=2~18 → 17개	없음	17개
18	1 < b < 19	b=2~18 → 17개	(1,0),(-1,2)	19개 ✅
19	0.5 < b < 19.5	b=1~19 → 19개	없음	19개 ✅
20	1.0 < b < 19.0	b=1~19 → 19개	없음	19개 ✅

 

 

k=1부터 늘려가다 보면

a=0인 경우의 순서쌍 개수가 k가 홀수이면 2씩,

짝수이면 유지되는 패턴이 보여요.

 

k=17까지는 최대 17개에 머무르다가,

k=18에서 a≠0 순서쌍 2개가 추가되어 처음으로 19개에 도달해요.

 

(a,b)의 순서쌍 개수가 19개인 k는 18, 19, 20이에요.

 

따라서 정답은 18+19+20=57이에요.

 

---

 

정리하며

 

이 문제는 출발점과 순서 두 가지가 핵심이었어요.

 

출발점은 첫째항이 0인 경우를 빠뜨리지 않고 a=0과 a≠0으로 나누는 것이에요.

공비 조건만 생각하면 a=0인 경우를 통째로 놓쳐요.

 

순서는 k를 고정하고 (a,b)의 개수를 세는 것이에요.

풀이 중간에 k, a, b가 섞이더라도 이 순서를 끝까지 유지해야 해요.

 

등비수열 형태가 나오면 첫째항이 0인 경우를 반드시 챙기는 것,

이 감각을 익혀두면 비슷한 구조의 문제에서 시작부터 흔들리지 않아요.

 

 

 

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