2026년 3월 모의고사 수학 15번 풀이 : 미분 가능성·삼차함수, 조건만 읽어도 그래프가 하나로 좁혀지는 문제예요

 

(가),(나) 조건을 읽었는데 집합 기호가 낯설어서 뭘 말하는 건지 해석도 못 한 채 넘어갔나요?

 

조건은 다 파악했는데 그래프를 식으로 옮기는 단계에서 넓이 공식이나 비율관계를 몰라서 막혔나요?

 

이 문제는 조건 해석과 식으로의 전환,

두 단계가 모두 잡혀야 끝까지 갈 수 있어요.

 

집합 조건이 낯설더라도 예시를 들어가며 풀어나가면 결론이 나오고,

그래프가 확정된 뒤에는 넓이 공식과 비율관계를 알고 있는 학생과 모르는 학생의 차이가 확연히 갈려요.

 

반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.

 

글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.

수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.

 

 

 

 

3모 15번 문제 원본

 

 

 

 

 

15번 문제의 정체 : 집합 조건 해석 + 넓이 공식·비율관계로 식 완성

 

이 문제의 흐름을 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.

 

(가),(나) 집합 조건을 해석해 g(x)와 y=-27의 교점 구조를 파악하고,
넓이 공식과 비율관계를 활용해 그래프를 식으로 옮긴 뒤
계수비교로 a, b를 구하는 문제

 

그래프까지 그린 학생이라면 반드시 식으로 옮기는 과정을 완성했어야 해요.

넓이 공식과 비율관계는 회피할 수 있는 개념이 아니에요.

 

 

 

 

풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트

(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)

 

① 문제를 읽어가며 해야 할 작업들을 다 했는가? 최고차항의 계수가 1이라는 조건을 가볍게 보면 안 돼요. 함수 추론 시 경우의 수가 절반으로 줄어드는 조건이에요. g(x)가 전체에서 미분 가능하다는 조건도 x=0에서 연속·미분 가능이라는 것으로 미리 정리해두어야 해요.

 

② (가),(나) 조건을 해석해 g(x)와 y=-27의 교점 구조를 파악했는가? 집합 조건이 낯설더라도 예시를 들어가며 해석해야 해요. 결론은 y=-27과의 교점이 2개이고, 두 교점 모두 접하면서 만나야 한다는 거예요.

 

③ 그래프를 식으로 옮길 때 넓이 공식과 비율관계를 활용했는가? 극댓값과 극솟값의 차이가 도함수의 정적분이라는 식, 그리고 삼차함수·사차함수의 비율관계를 이미 알고 있었어야 해요. 몰랐다면 이번 기회에 반드시 익혀두어야 해요.

 

 

 

 

 

Step 1. 문제를 읽으며 — 최고차항 계수, 미분 가능성

 

최고차항의 계수가 1이라는 조건은 항상 강조해요.

함수 추론시 최고차항 계수가 양수인 경우로만 좁혀지는 것이기도 하고,

계수 하나를 알려주는 것이기도 해요.

문제지에 따로 표시해두고 넘어가야 해요.

 

g(x)가 실수 전체에서 미분 가능하다고 했으므로

x=0에서 연속이고 미분 가능해요.

 

g(x)와 g'(x)의 x=0에서 좌극한·우극한이 같다는 식을 써보면 다음과 같아요.

 

 

 

이로부터 g(0)=g'(0)=0도 함께 얻어요.

나중에 쓰일 수 있는 조건들은 따로 표시해두어야 해요.

 

또한 g(x)의 구조를 미리 파악해두면 좋아요.

x≤0 구간에서는 최고차항 계수가 -1인 사차함수,

x>0 구간에서는 최고차항 계수가 1/4인 삼차함수 형태예요.

 

f(0)과 f'(0)이 각각 f(x)의 상수항과 일차항 계수를 의미한다는 것도 알고 있어야 해요.

이번 문제에서 직접 쓰이기도 하고, 습관화해두면 여러 문제에서 유용해요.

 

 

 

 

Step 2. (가),(나) 해석 — 집합 조건은 예시를 들어가며

 

집합 조건이 나오면 두 가지를 먼저 확인해야 해요.

원소끼리는 서로 다르다는 것,

그리고 그 집합이 어떤 집합인지를 파악하는 것이에요.

 

한 번에 의미가 잡히지 않는다면

(가)에서 말한 조건의 원소를 α, β라고 직접 설정해봐도 돼요.

 

그러면 α와 β는 서로 다른 실수이고, g(x)=-27의 모든 근이에요.

(나)를 읽어보면 g'(α)=g'(β)=0임을 알 수 있어요.

 

따라서 결론은 다음과 같아요.

 

y=g(x)와 y=-27의 교점은 α와 β뿐이고,
두 교점 모두 접하면서 만나야 해요.

 

이것으로 모든 조건을 해석했어요.

더 이상 조건에서 얻을 수 있는 정보가 없으니 함수를 추론해야 해요.

 

 

 

 

 

Step 3. y=g(x) 추론 — 조건 정리

 

추론 전에 지금까지 나온 조건들을 한데 모아볼게요.

 

• g(0)=g'(0)=0
• x≤0 구간: 최고차항 계수가 -1인 사차함수
• x>0 구간: 최고차항 계수가 1/4인 삼차함수
• y=-27과의 교점이 정확히 2개, 두 교점 모두 접하며 만남

 

이 조건들을 살펴보면 여러 경우랄 것 없이 그래프 형태가 하나로 좁혀져요.

 

사차함수 구간과 삼차함수 구간을 각각 살펴볼게요.

 

Step 3-1. 사차함수 구간 (x≤0)

 

g(0)=g'(0)=0이고 최고차항 계수가 -1인 사차함수예요.

x=0에서 g(x)=0이고 접선의 기울기도 0이에요.

y=-27과 접하며 만나야 하므로 삼중근을 갖는 형태가 나와요.

 

 

Step 3-2. 삼차함수 구간 (x>0) + 최종 g(x)

 

x>0 구간에서도 g(0)=0을 만족하면서 y=-27과 접하며 만나야 해요.

최고차항 계수가 1/4인 삼차함수이므로 중근을 갖는 형태가 나와요.

 

 

두 그림을 합치면 최종 g(x)는 다음과 같아요.

 

 

g(x)는 이렇게 하나로 특정돼요.

다른 경우의 수는 그릴 수가 없어요.

 

이런 점에서 이번 15번은 삼차함수 추론 문제 중 비교적 쉬운 편이에요.

 

 

 

 

Step 4. 그래프를 식으로 — 넓이 공식과 비율관계

 

이제 그래프를 식으로 옮겨야 해요.

여기서 이차·삼차함수 넓이 공식과 삼차·사차함수 비율관계를 사용할 거예요.

 

가끔 이 공식들을 외우지 않아도 풀 수 있어야 하는 것 아니냐고 묻는 학생들이 있어요.

수2만 배웠다면 시험 중에도 유도할 수 있어요.

 

하지만 짧게 암기해두면 시험장에서 계산량이 획기적으로 줄고 사고방식도 간단해져요.

 

실전개념 단계에서 이미 배웠어야 하고,

그래프까지 그린 학생이라면 자연스럽게 적용할 수 있었어야 해요.

 

사용하는 공식 두 가지씩만 정리하고 넘어갈게요.

이미 알고 있었는지 확인하고, 몰랐다면 반드시 따로 유도하고 암기해두세요.

 

 

사차함수 구간 (g1(x))

 

y=-27과 x=p에서 삼중근을 갖는 상황이에요.

도함수 그래프를 그려보면 넓이 공식을 활용해

극댓값과 극솟값의 차이가 도함수의 정적분이라는 식을 세워 p를 구할 수 있어요.

 

 

 

p를 구했으니 y=-27과의 다른 한 근은 비율관계에 의해 1임을 바로 알 수 있어요.

 

 

따라서 g1(x)는 다음과 같아요.

 

 

 

삼차함수 구간 (g2(x))

 

y=-27과 x=q에서 중근을 갖는 상황이에요.

 

같은 방식으로 넓이 공식을 활용해 q를 구하고,

 

 

 

 

비율관계에 의해 다른 한 근이 -3임을 알 수 있어요.

 

 

따라서 g2(x)는 다음과 같아요.

 

 

최종적인 g(x) 그래프는 다음과 같아요.

 

 

 

 

 

Step 5. a, b 계산 — 항등식의 계수비교

 

a, b도 모르고 f(x) 식도 모르는데 어떻게 계산되는지 의아할 수 있어요.

 

두 식이 항등식이기 때문에 가능해요.

 

다만, 시험장에서는 모르겠으면

일단 f(x)를 전부 미지수로 설정하고 생각해야 돼요.

 

f(0)=f'(0)=0이므로 f(x)의 상수항과 일차항 계수가 모두 0이에요.

따라서 f(x)는 다음과 같이 간단히 설정할 수 있어요.

 

 

g1(x)에 대입해 전개하면 다음과 같아요.

 

 

g2(x)에서 b를 구할 때도 같은 방식으로 구해요.

 

 

 

다만, 이 경우는 전개보다 대입이 더 빨라요.

x=-3을 대입하고 답을 구하면 다음과 같아요.

 

 

따라서 정답은 ③이에요.

---

 

정리하며

 

이 문제는 집합 조건 해석과 식으로의 전환,

두 단계가 모두 잡혀야 끝까지 갈 수 있었어요.

 

집합 조건이 낯설더라도 예시를 들어가며 풀어나가면 결론이 나오고,

그래프가 확정된 뒤에는 도함수 정적분, 넓이 공식, 비율관계가 자연스럽게 이어졌어요.

 

넓이 공식과 비율관계를 모르면 그래프까지 완성하고도 식을 못 쓰는 상황이 생겨요.

 

이 두 가지는 실전개념 단계에서 반드시 암기하고 들어와야 하는 것들이에요.

아직 모른다면 지금 바로 유도하고 외워두세요.

 

 

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