h(x) 그래프를 그리는 데 너무 오래 걸려서 뒷 풀이를 제대로 시작도 못 했나요?
an의 수렴값을 구하는 마지막 단계에서 기울기가 k에 수렴한다는 걸 기울기가 k가 된다고 착각해서 범위를 잘못 잡았나요?
이 문제는 세 단계가 순서대로 완성되어야 해요.
지수가 포함된 극한을 계산해 h(x) 식을 구하고,
f(x)를 그려 x에 대한 h(x)로 전환하고,
an의 수렴값을 함정 없이 구하는 것이에요.
마지막 단계에서 수열의 기본은 나열이라는 태도가 없으면 반드시 함정에 걸려요.
반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.
글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.
28번 문제의 정체 : 지수 극한으로 h(x) 구하기 + 수열 나열로 함정 피하기
이 문제의 흐름을 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.
지수가 포함된 극한을 계산해 h(x) 식을 구하고,
f(x) 그래프로 x에 대한 범위로 전환한 뒤,
an의 수렴값을 수열 나열로 정확히 구하는 문제
h(x)를 막힘없이 그리는 것까지 무난하게 마쳤다면
기출 2회독 정도가 완료된 수준으로 볼 수 있어요.
마지막 함정을 피하는 것이 이 문제의 진짜 관문이에요.
풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트
(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)
① 지수가 포함된 극한에서 밑이 가장 큰 항으로 분모·분자를 나눴는가? 지수 극한이 나오면 밑이 가장 큰 항으로 나누는 게 자동으로 나와야 해요. |f(x)|와 5의 대소를 기준으로 경우를 나눠 h(x)를 구해야 해요.
② f(x)를 그려 y값 범위를 x값 범위로 전환했는가? h(x)를 x에 대해 그리려면 반드시 f(x) 그래프가 필요해요. y=5, y=-5와의 교점을 찾아 범위를 전환하는 과정이에요.
③ an의 수렴값을 구할 때 수를 직접 나열해봤는가? 기울기가 k에 수렴하는 것이지 k가 되는 순간이 있는 게 아니에요. 수열은 반드시 나열이 기본이에요. 나열해봐야 함정을 피할 수 있어요.
Step 1. h(x) 식 구하기 — 지수 극한은 밑이 큰 항으로
f는 정해진 삼차함수, g는 x<0에서 이차함수, x≥0에서 5로 일정한 함수예요.
h가 연속이라는 조건도 중요한 정보이므로 문제지에 표시해두어야 해요.
h(x) 식을 보면 지수가 포함된 극한이에요.
처음 보는 형태가 아니어야 해요.
여기서 망설여졌다면 수2 극한 활용 문제를 더 풀어봐야 해요.
핵심은 밑이 가장 큰 항으로 분모·분자를 나누는 것이에요.
|f(x)|와 5의 대소를 기준으로 4가지 경우로 나눠요.
(ⅰ) |f(x)| > 5인 경우
분모·분자를 f(x)^2n으로 나눠요.
(ⅱ) |f(x)| < 5인 경우
분모·분자를 5^2n으로 나눠요.
(ⅲ) f(x) = 5인 경우
분모·분자를 5^2n으로 나눠요.
(ⅳ) f(x) = -5인 경우
분모·분자를 5^2n으로 나눠요.
이제 f(x)의 값에 따른 범위를 x에 따른 범위로 바꿔야 해요.
따라서 f(x)를 그려야 해요.
Step 2. f(x) 그리기 — x에 대한 h(x)로 전환
f'(x)를 구하고 y=5, y=-5와의 교점을 찾아요.
비율관계를 활용하면 x=-1도 바로 표시할 수 있어요.
비율관계는 이전에 다룬 3월 모의고사 15번 풀이에서 정리했으니 참고해주세요.
f(x) 그래프를 바탕으로 (ⅰ)~(ⅳ) 범위를 x값에 대한 범위로 전환하면 다음과 같아요.
- (ⅰ) x>3, x<-2 : h(x) = f(x)
- (ⅱ) -2<x<3 (x≠0) : h(x) = g(x)
- (ⅲ) x=0, x=3 : h(x) = (5+g(x))/2 → g(0)=g(3)=5이므로 h(x)=5
- (ⅳ) x=-2 : h(x) = (-5+g(x))/2 → g(-2)는 미정
Step 3. h(x) 그리기 — 연속 조건으로 미정 구간 채우기
아는 부분만 먼저 그려볼게요.
h가 연속이어야 하므로 x=-2에서 극한값과 함수값이 같아야 해요.
따라서 h(-2)=-5예요.
이를 바탕으로 g(-2)를 구할 수 있어요.
h(0)은 연속 조건이 자동으로 만족돼요. -
-2<x<0 구간은 최고차항 계수가 p/2인 이차함수임을 알 수 있어요.
Step 4. an의 수렴값 — 기울기는 k보다 작다는 것을 잊으면 안 돼요
가장 많이 실수하는 부분이에요.
기울기가 k-1/2^n인 직선이 있고 n이 커질수록 기울기도 커지는데,
기울기는 항상 k보다 작아요.
k가 되는 순간은 없어요.
이걸 놓치면 범위를 잘못 잡아요.
주어진 직선은 기울기와 무관하게 (0,5)를 지나요.
n이 증가하면 기울기가 증가하므로
기울기가 양수인 특정 값일 때부터 기울기를 늘려가며 교점 개수를 관찰해야 해요.
① 교점 2개
② 기울기=5일 때 — f'(-2)=12와 비교하면 f'(-2)가 더 크므로 x=-2에서의 교점 관계가 그림과 같아요.
교점 3개예요.
곡선과 직선이 만날 때는 반드시 기울기와 미분계수를 비교하는 습관이 필요해요.
③ 교점 4개
④ x=0에서 이차함수에 접할 때 — 교점 3개예요.
⑤ 이후 — 교점 3개가 계속 유지돼요.
an의 수렴값이 4가 되려면 ③에 해당하는 k는 가능하고 ④에 해당하는 k는 안 된다고
단순하게 생각하면 오답이에요.
수열은 반드시 나열이 기본이에요.
n이 충분히 큰 상황을 가정하고 n을 1씩 늘려가며 an을 직접 확인해야 해요.
④에 해당하는 k일 때도 직선의 기울기는 항상 k보다 작으므로
④ 상황이 실제로 나오는 n은 존재하지 않아요.
n을 1씩 늘려가도 an은 계속 4예요.
따라서 수렴값은 4예요.
이 논리로 k가 7개인 조건을 구하면 다음과 같아요.
k가 ②의 기울기인 5보다 커야 하므로 k=6부터 시작해요.
k=6,7,8,9,10,11,12까지 7개이고,
k=13부터는 수렴값이 4인 조건을 만족하지 않아야 해요.
④일 때 g'(0-)=q/2예요.
앞선 논리를 바탕으로 12≤q/2<13이에요.
q/2=12가 포함되는 이유는, 미분계수가 12가 되어 k와 동일해져도 기울기는 항상 k보다 작으므로
an의 수렴값이 여전히 4이기 때문이에요.
q/2=13이 포함되면 k=13일 때도 수렴값이 4가 되어 k가 8개가 되므로 제외돼요.
따라서 24≤q<26이에요.
앞서 q=2p+10이었으므로
두 조건을 조합하면 p=7, q=24가 나와요.
h(4)=f(4)=32-24+5=13이므로 p+q+h(4)=7+24+13=44예요.
따라서 정답은 ③이에요.
정리하며
이 문제는 세 단계가 모두 완성되어야 풀리는 문제였어요.
지수 극한에서 밑이 큰 항으로 나누는 것,
f(x)를 그려 x에 대한 h(x)로 전환하는 것,
그리고 수열을 직접 나열해 수렴값 함정을 피하는 것이에요.
특히 마지막 단계가 핵심이에요.
기울기가 k에 수렴하는 것과 k가 되는 것은 완전히 달라요.
수열은 반드시 나열이 기본이라는 태도가 몸에 배어 있어야 이런 함정에서 흔들리지 않아요.
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