2026년 3월 모의고사 수학 22번 풀이 : 지수함수·거리 조건 — 그래프 말고 식으로 풀었어야 해요

 

그래프를 그렸는데 거리 조건을 식으로 어떻게 옮겨야 할지 몰라서 막혔나요?

 

아니면 f(t)와 g(t) 중 어느 쪽이 더 큰지 판단하려다가

경우를 잘못 나눠서 조건에 맞지 않는 상황을 골라버렸나요?

 

이 문제는 그래프보다 식이 먼저예요.

거리 조건은 대부분 그래프로 해결할 수 없어요.

두 함수의 차에 절댓값을 씌우고, 치환을 통해 이차함수로 전환하는 순간 풀이 방향이 확정돼요.

 

반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.

 

글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.

수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.

 

 

 

 

3모 22번 문제 원본

 

 

 

 

22번 문제의 정체 : 거리 식 + 치환 + 이차함수 교점 분석

 

이 문제의 흐름을 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.

 

거리 조건을 절댓값으로 세우고
밑이 2인 지수함수를 치환해 이차함수로 전환한 뒤,
y=±1/5와의 교점이 2개인 k를 찾고 근과 계수의 관계로 마무리하는 문제

 

 

그래프가 쉽게 그려진다고 해서 그래프로 해결하려 하면 거리 조건에서 막혀요.

밑을 통일시키기 쉬운 지수함수가 나왔다면 식으로 접근하는 게 맞아요.

 

 

 

 

풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트

(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)

 

① 그래프보다 식이 먼저라는 판단을 했는가? 그래프가 그리기 쉬워 보여도, 거리 조건이 나오면 반드시 식으로 전환해야 해요. 밑을 2로 통일시킬 수 있는 지수함수가 주어졌다면 더욱 식적 접근이 자연스러워요.

 

② 거리를 절댓값으로 표현했는가? f(t)와 g(t) 중 어느 쪽이 더 큰지 판단하려 하면 복잡해져요. 두 식의 차에 절댓값을 씌우면 한 번에 처리할 수 있어요.

 

③ k가 자연수이므로 k=1부터 차례로 대입해 규칙성을 파악했는가? y값이 미지수 k로 표현되어 있으면 그래프 위치를 특정할 수 없어요. k를 수열처럼 1부터 늘려가며 교점 개수의 변화를 파악하는 접근이 필요해요.

 

 

 

 

Step 1. 거리 — 절댓값으로 한 번에

 

두 지수함수의 식이 간단하므로 그래프를 먼저 그려보려는 시도를 할 수 있어요.

단, k를 모르므로 k=1로 고정한 뒤 움직인다고 생각하면 돼요.

 

그런데 거리 조건이 나오는 순간 식으로 전환해야 해요.

거리는 대부분 그래프만으로 해결할 수 없어요.

밑을 2로 통일할 수 있는 지수함수가 주어진 것도 식 접근의 신호예요.

 

A, B 사이의 거리가 1/5이므로 |f(t)-g(t)| = 1/5이에요.

대소 판단 없이 절댓값으로 묶으면 한 번에 처리할 수 있어요.

 

 

 

f(t)-g(t)에서 (2의 t제곱)을 하나의 미지수처럼 보면 이차식으로 생각할 수 있어요.

 

절댓값을 벗기면 +1/5와 -1/5 두 경우로 나뉘어요.

 

 

 

 

Step 2. 2의 t제곱  치환 — 범위를 반드시 챙겨야 해요

 

(2의 t제곱)을 A로 치환할게요. 이 때 반드시 범위를 확인해야 해요.

(2의 t제곱)  > 0이므로 A > 0이에요.

이 조건이 빠지면 완전히 다른 계산이 될 수 있어요.

치환할 때 범위 확인은 필수에요!

 

치환하면 이차방정식의 형태가 돼요.

 

 

 

실수 t의 개수가 2개이려면 A > 0 범위에서 이 이차방정식의 근이 2개여야 해요.

 

따라서 A에 대한 이차함수를 그리고, y = ±1/5와의 교점이 2개인 k의 조건을 찾으면 돼요.

 

 

 

 

Step 3. 교점 개수 파악 — k를 수열처럼 1부터

 

이차함수는 그리기 매우 쉬운 함수예요.

최솟값을 갖는 지점의 정보만 표시하면 충분해요.

 

 

 

y값이 k를 포함한 식으로 표현되어 있어서

y = ±1/5의 위치를 바로 특정할 수 없어요.

 

따라서 k에 1부터 차례로 대입해가며 교점 개수를 확인해야 해요.

 

(ⅰ) k=1인 경우

 

 

교점이 0개예요. 조건 불만족이에요.

 

(ⅱ) k=2인 경우

 

 

교점이 2개예요.

문제에서 원하는 경우예요. ✅

 

(ⅲ) k=3 이상인 경우

 

 

k를 늘려갈수록 y = 1/5와 교점이 1개만 형성돼요.

조건 불만족이에요.

 

따라서 우리가 원하는 t 2개는

k=2일 때 y=1/5와 만드는 교점 2개예요.

 

 

 

 

Step 4. 마무리 — 근과 계수의 관계 활용

 

두 t의 합 p를 구해야 해요.

 

y = 1/5과 만날 때 이차방정식을 세우면 다음과 같아요.

 

 

 

A = 2의 t제곱 이므로 두 t의 합 p는 log₂A1 + log₂A2로 표현할 수 있어요. (두 근이 A1,A2)

지수의 합은 진수끼리의 곱을 통해 만들 수 있다는 것을 떠올려야 해요.

A1, A2는 근과 계수의 관계에 의해 바로 구할 수 있어요. 근의 공식 없이 한 번에 나와요.

 

 

따라서 정답은 80이에요.

---

 

정리하며

 

이 문제는 세 가지 판단이 연결된 문제였어요.

 

거리 조건이 나오면 식으로 전환하는 것,

대소 판단 없이 절댓값으로 묶는 것,

k를 수열처럼 1부터 늘려가며 교점 개수의 변화를 파악하는 것이에요.

 

그래프를 그리는 습관은 좋지만, 그 안에서도 항상 식으로 전환할 준비가 되어 있어야 해요.

거리 조건은 그래프만이 아닌 식과 함께 해결돼요.

이 감각을 익혀두면 비슷한 유형에서 흔들리지 않아요.

 

댓글로 편하게 남겨주세요.

• 다루길 원하는 다른 문제나 콘텐츠
• 이해가 안 된 부분
• 글에 대한 자유로운 피드백

 

 

 

과외 상담이나 학습 문의는 아래 오픈채팅으로 편하게 연락주세요.

수학 1~2등급을 목표로 하는 고등학생, 재수생을 대상으로 개인 과외 및 학습 상담을 진행하고 있어요.

단순 문제 풀이가 아니라 사고 과정과 풀이 방향성을 함께 잡아드려요.

온라인 비대면 또는 오프라인으로 진행해요.

 

 

https://open.kakao.com/o/sRN1e5ii

파도법칙 - 1:1 문의님의 오픈프로필

 

다음 글은 2026년 3월 모의고사 수학 미적분 28번으로 돌아올게요. 읽어주셔서 감사해요!