2025년 9월 모의고사 수학 22번 풀이 : 직각이등변삼각형 그리다 시간 다 썼나요? 기울기의 정의부터 다시

수선의 발, y=x 대칭, y절편 차이.

이런 요소들이 한꺼번에 나오면 기하적으로 뭔가 될 것 같은 느낌이 들어요.

직각이등변삼각형을 그려보거나, 점 B에서 직선 AP에 수선의 발을 내려보거나.

그런데 어느 방향으로 가도 막혀요.

길이 정보가 없고, 기울기 조건도 좌표를 설정하지 않으면 진행이 안 돼요.

 

결국 계산해야 한다는 결론에 도달하는데, 문제는 그 이후예요.

 

기울기를 단순히 x 앞의 계수로만 생각하고 직선의 방정식을 세워 대입하는 방식으로 접근하면

계산량이 급격히 늘어나요.

 

기울기를 정의 그대로, x좌표 차와 y좌표 차의 비율로 인식하는 순간

미지수 설정이 훨씬 단순해져요.

 

반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.

 

 

글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.

수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.

 

 

 

22번 문제 원본

 

 

 

22번 문제의 정체 : 기하적 시행착오를 빠르게 끝내고, 기울기의 정의로 계산하는 문제

 

이 문제를 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.

 

기하적 풀이를 시도하다 어차피 계산해야 한다는 결론을 얻고,

기울기의 정의와 좌표 대입으로 간단히 해결하는 문제

 

 

로그함수, 수선의 발, y=x 대칭 등 기하적 요소가 많아서 처음엔 기하 풀이를 의심할 수밖에 없어요.

하지만 시행착오를 빠르게 끝내고 좌표를 설정해 계산 문제로 전환하는 판단이 핵심이에요.

 

 

풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트

(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)

 

① 기하적 풀이를 시도하다가 비교적 빠르게 좌표 설정으로 전환했는가? 기하적 요소가 많으니 시도해볼 수는 있어요. 하지만 각이 안 나온다고 느끼는 순간, 좌표를 미지수로 설정하는 전환이 빠르게 이루어져야 해요.

 

② 기울기를 x좌표 차와 y좌표 차의 비율로 인식했는가? 기울기를 직선의 방정식에서 x 앞의 계수로만 생각하면 미지수를 잡기가 복잡해져요. 정의 그대로 좌표 차의 비율로 인식하면 미지수 설정이 훨씬 단순해져요.

 

③ 기울기가 -1인 직선을 좌표 합이 일정한 직선으로 인지했는가? 기울기가 -1인 직선은 자주 등장해요. 좌표 합이 일정하다는 성질을 알면 사고 방향이 넓어지고 계산도 빨라져요.

 

 

Step 1. 시행착오 — 기하적 풀이 시도

 

문제에 로그함수 위의 두 점, 수선의 발, y=x 대칭, y절편과 기울기 조건이 함께 있어요.

기하적 시도를 해보는 게 자연스럽고, 시도해볼 가치도 있어요.

 

 

예를 들어 y절편의 차이를 빗변으로 하는 직각이등변삼각형을 생각하거나,

점 B에서 직선 AP에 수선의 발을 그어 무언가를 찾으려 하거나.

 

 

이런 시도들 끝에 도달하는 결론은 하나예요.

 

결국 계산을 해야 한다.

 

y절편 차를 제외한 길이 정보가 없고,

핵심 조건인 기울기도 좌표 설정 없이는 진행할 수 없어요.

 

따라서 A와 B 중 적어도 하나의 좌표를 미지수로 설정해야 해요.

 

처음 잡는 점의 좌표는 가능한 미지수를 줄이는 게 좋아요.

A가 로그함수 위에 있다는 것을 이용하면 미지수 하나만으로 좌표를 설정할 수 있어요.

 

 

여기까지 오래 걸리지 않았다면 풀이의 시작이 좋은 거예요.

 

 

Step 2. 점 B 좌표 설정 — 기울기는 x, y 좌표 차의 비율

 

점 A의 좌표를 미지수 하나로 설정했어요.

이제 점 B의 좌표도 설정해야 직선이나 절편을 구할 수 있어요.

 

점 B를 (c, d)처럼 새로운 미지수 두 개로 잡을 수도 있어요.

하지만 (나) 조건의 기울기를 정확히 활용하면 미지수를 하나만 추가하면 돼요.

 

기울기의 정의는 다음과 같아요.

 

 

 

모르는 학생은 없지만 활용하는 학생은 많지 않아요.

직선의 방정식을 배우면서 기울기를 x 앞의 계수 정도로만 기억하게 되거든요.

하지만 이 정의가 먼저 떠올라야 기하적 풀이든 미지수 설정이든 유리해요.

 

직선 AB의 기울기가 6/7이라는 건 두 점의 x좌표 차와 y좌표 차가 7:6의 비율이라는 뜻이에요.

이를 이용하면 점 B의 좌표를 다음과 같이 설정할 수 있어요.

 

 

 

뺀 이유는 (가) 조건에서 직선 AP가 직선 BQ보다 위에 있고,

그래프를 그렸기 때문에 위치 관계를 알 수 있어요.

 

이렇게 하면 미지수 2개만으로 점 A와 점 B의 좌표를 설정했고,

점이 로그함수 위에 있다는 것과 (나) 조건도 함께 활용한 게 돼요.

 

 

(참고로, 점이 함수 위에 있으면 좌표를 함수에 대입할 수 있다는 건 이 블로그에서 이미 한 번 강조한 내용이에요.

어느 글에서 나왔는지 아는 분은 댓글로 남겨주세요!)

 

 

Step 3. (가) 조건 이용 — 기울기가 -1인 직선은 좌표 합이 일정

 

이제 (가) 조건을 해석해야 하므로 두 직선의 y절편을 구해야 해요.

 

직선 AP와 직선 BQ의 기울기가 -1이라는 건 그래프를 그리면서 파악했을 거예요.

y=x에 내린 수선의 발이 P이고, 대칭이동점이 Q이기 때문이에요.

 

직선의 방정식을 각각 세우고 x=0을 대입해서 y절편을 구해 빼도 돼요.

하지만 더 빠른 방법이 있어요.

 

기울기가 -1인 직선의 방정식은 y+x=상수 형태예요.

따라서 직선 위의 모든 점에서 x좌표와 y좌표의 합이 일정해요.

 

y절편은 x=0일 때의 y값이므로

결국 직선 위 어떤 점의 좌표 합과 같아요.

 

즉, (가) 조건은 이렇게 바뀌어요.

(점 A의 x좌표 + y좌표) - (점 B의 x좌표 + y좌표) = 13/2

 

앞에서 A와 B의 좌표를 간단히 설정해뒀으니, 대입하면 k값이 바로 나와요.

 

 

k값이 간단하게 나오면 방향이 맞다는 신호예요.

 

 

Step 4. 점 B를 로그함수에 대입 — 까먹기 쉬운 조건

 

 

점 A는 좌표를 설정할 때 이미 로그함수 위에 있다는 조건을 활용했어요.

그런데 점 B는 좌표를 설정할 때 기울기 조건인 (나)를 활용했고,

로그함수 위에 있다는 조건은 아직 쓰지 않았어요.

 

이유는 기울기 조건으로 좌표 차를 설정하는 게

로그 안에 미지수 두 개를 넣는 것보다 계산이 편하기 때문이에요.

 

하지만 점 B가 로그함수 위에 있다는 조건을 반드시 나중에 써야 해요.

풀이가 진행되면 까먹기 쉬운 조건이에요.

 

구한 k를 이용해 점 B의 좌표를 로그함수에 대입하면 a값이 나와요.

 

 

a가 나오면 점 A와 점 B의 좌표가 모두 확정되고,

나머지 점들의 좌표도 전부 구할 수 있어요.

 

 

Step 5. 마무리 계산 — 사다리꼴 넓이

 

모든 점의 좌표를 구할 수 있는 상태예요.

 

기울기가 -1인 직선의 성질을 다시 활용하면 점 P와 점 Q의 좌표도 쉽게 나와요.

y=x 위에 있는 점 P는 x좌표와 y좌표 합이 A와 같아야 하므로 P(3, 3)이에요.

Q는 점 B의 y=x 대칭이니 B의 좌표를 뒤바꾸면 돼요.

 

 

직선 AP와 직선 BQ의 기울기가 동일하므로 두 직선은 평행해요.

따라서 구하는 사각형은 사다리꼴이에요.

두 밑변의 길이와 높이를 구해야 해요.

 

선분 BQ와 선분 AP의 길이는 점과 점 사이의 거리 공식보다

x좌표 차와 y좌표 차를 이용하는 게 훨씬 빨라요.

기울기가 -1인 직선 위의 두 점이므로 직각이등변삼각형이 보이고, 선분의 길이가 바로 나와요.

 

 

높이는 점 B에서 직선 AP에 수직으로 내린 선분의 길이예요. 이건 점과 직선 사이의 거리 공식을 활용해요.

 

 

p=8, q=65이므로 정답은 73이에요.

 

 

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정리하며

 

이 문제는 기하 시도 → 계산 전환 → 기울기 정의 활용의 흐름이 핵심이었어요.

 

기하적 시도를 빠르게 끝내고 좌표 설정으로 넘어오는 것,

기울기를 x 앞의 계수가 아닌 좌표 차의 비율로 인식해 미지수를 최소화하는 것,

기울기가 -1인 직선에서 좌표 합이 일정하다는 성질을 활용하는 것.

 

이 세 가지 감각은 이 문제 하나에서 끝나지 않아요.

기울기가 포함된 거의 모든 유형에서 반복적으로 나오는 사고예요.

이번 문제를 통해 확실히 몸에 익혀두세요.

 

 

 

 

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다음 글은 2025년 9월 모의고사 수학 미적분 28번으로 돌아올게요. 읽어주셔서 감사해요!