2025년 9월 모의고사 수학 미적분 28번 풀이 : f(x) 식을 보고 합성함수가 안 보였다면, 이 문제는 처음부터 막혔을 거예요

(나) 조건 마지막 줄을 보는 순간 멈췄나요?

x→∞일 때 g(x)의 극한값이 주어졌는데, 이게 f(x)랑 어떻게 연결되는지 감이 안 잡혀서요.

 

혹시 조건의 우변을 두 번 미분하려 했나요?

아니면 g(x)의 극한 조건을 보고 아무것도 못 한 채 멈춰버렸나요?

 

이 문제에서 (가),(나)의 기본 정보는 대입만 하면 쉽게 나와요.

진짜 핵심은 (나)의 마지막 조건이에요.

 

x가 특정 상수가 아닌 무한대로 가는 극한값이 주어졌다는 건,

점 하나의 정보가 아니라 g(x)의 범위에 대한 정보예요.

이 순간 f(x)를 합성함수로 바라보는 관점 전환이 이루어져야 해요.

 

필자도 처음 봤을 때 이 부분을 해석하는 데 시간이 걸렸어요.

이 시험지에서 가장 어려운 문제로 판단해요.

 

반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.

 

글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.

수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.

 

 

미적분 28번 문제 원본

 

 

28번 문제의 정체 : 합성함수에서 겉함수의 정의역을 속함수의 치역으로 생각하는 문제

 

이 문제를 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.

 

f(x)를 합성함수로 바라보고,
g(x)의 치역이 tanx의 미분 가능 구간 안에 있어야 한다는 조건으로 경우를 나누는 문제

 

 

 

(가),(나)의 기본 조건은 대입으로 쉽게 처리돼요.

단, (나)의 마지막 극한 조건에서 합성함수 관점으로 전환하는 것이 이 문제의 성패를 가르는 지점이에요.

 

 

 

풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트

(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)

 

① (가),(나)의 조건을 읽고 두 점의 좌표 대입과 변곡점 조건을 바로 활용했는가? 이계도함수 값이 0이라는 건 변곡점이라는 뜻이에요. (가),(나)에서 두 점의 정보를 줬으니 곧바로 대입할 수 있어야 해요. 단, 양변을 두 번 직접 미분하면 안 돼요. g(x)가 두 번 미분 가능하다는 보장이 없기 때문이에요.

 

② (나)의 극한 조건을 보고 f(x)를 합성함수로 바라봤는가? 처음 f(x)를 접했을 때는 모를 수 있어요. 하지만 x→∞일 때 g(x)의 극한값이 주어지는 순간, g(x)만을 따로 꺼내기 위해 f(x)를 합성함수 형태로 쪼개야 한다는 걸 떠올려야 해요.

 

③ f(x)를 세울 때 변곡점을 지나는 직선을 활용해 식을 간단히 세웠는가? 변곡점에서 점대칭인 성질을 이용하면 세 교점을 알 수 있고, 그 세 점을 지나는 직선을 활용해 f(x) 식을 간단히 세울 수 있어요.

 

 

 

Step 1. (가),(나) 기본 조건 대입 — 원점, 변곡점, g(π)

 

문제에서 f(x)의 형태가 주어지고 바로 (가),(나) 조건이 나와요.

 

(가) 해석

 

y=f(x)가 (0,0)을 지난다는 조건을 f(x)식에 대입하면 다음 결과를 얻어요.

 

 

 

또한 x=π에서 변곡점을 갖는다는 조건은 f''(π)=0을 의미해요.

여기서 주의할 점이 있어요.

f(x)의 우변인 g(x)-tan g(x)를 양변에서 두 번 직접 미분하면 안 돼요.

 

f(x)는 두 번 미분 가능하지만, 그렇다고 g(x)가 두 번 미분 가능하다는 보장이 없거든요.

수학적 오류이고, 했다고 해도 추가 정보를 얻을 수 없어요.

 

(나) 해석 part 1

 

sin g(π)=0이라는 조건에서 g(π)=nπ (n은 정수)예요.

 

 

여기서 f'(x)를 구해 x=π를 대입하면 다음 결과를 얻어요.

 

 

 

이 조건은 나중에 f(x) 식을 세울 때 활용해요.

바로 보이는 조건이니 놓치지 말고 챙겨두세요.

 

이렇게 원점 통과, 변곡점, g(π) 세 가지 기본 정보를 얻었어요.

여기까지 막힌 게 있다면 삼차함수 기본 개념부터 다시 봐야 해요.

 

문제는 (나)의 마지막 조건이에요..

 

 

Step 2. 구하는 것 먼저 파악 — 최종 답은 -f'(0)

 

(나)의 마지막 조건을 해석하기 전에,

먼저 구하라는 것이 바로 나오는지 확인해볼게요.

 

문제에서 g'(0)을 구하라고 하므로,

f'(x)에 x=0을 대입해볼 수 있어요.

그리고 Step 1에서 구한 g(0)=tan g(0) 조건을 활용하면 다음과 같아요.

 

 

 

따라서 최종 답은 -f'(0)이에요.

f(x) 식을 완전히 구하면 바로 답이 나오는 구조예요.

이제 (나)의 마지막 조건을 해석해야 해요.

 

 

Step 3. (나) 마지막 조건 해석 — f(x)를 합성함수로 바라보기

 

x→∞일 때 g(x)→3π/2라는 조건이에요.

특정 점이 아니라 범위에 대한 정보예요. 감이 안 잡힐 수 있어요.

 

이때 f(x)를 새로운 관점으로 봐야 해요.

지금까지는 f(x)식에 좌표를 대입해 계산했지만,

이제는 합성함수 형태로 쪼개는 관점이 필요해요.

 

 

 

 

이렇게 놓고 양변의 x를 무한대로 보낼 수 있어요.

 

좌변 f(x)는 삼차함수이므로 최고차항 계수에 따라 +∞ 또는 -∞로 가요.

우변은 g(x)→3π/2이므로 x-tanx에서 x가 3π/2로 다가가는 상황이에요.

 

여기서 핵심이 나와요. 3π/2에 어느 방향에서 다가가느냐에 따라 tanx의 값이 달라져요.

 

 

y=tanx는 (2n-1)π/2에서 불연속이고 미분 불가능해요.

연속이고 미분 가능한 구간은 (-π/2, π/2), (π/2, 3π/2), (3π/2, 5π/2)처럼 홀수배 π/2 사이의 열린 구간이에요.

그런데 f(x)는 모든 실수에서 미분 가능해야 해요.

 

따라서 우변인 x-tan x도 g(x)의 모든 치역에서 미분 가능해야 해요.

즉 g(x)의 치역이 (홀수)π/2를 포함하면 안 돼요.

 

g(x)가 3π/2로 수렴하는데,

만약 g(x)의 치역이 (홀수)π/2를 지나간다면 그 점에서 x-tanx가 미분 불가능해져서 모순이에요.

 

따라서 g(x)의 치역은 3π/2에 가까운 한쪽 방향에서만 수렴해야 하고, 이게 경우의 수로 이어져요.

 

 

Step 4. 경우 나누기 — n값 확정과 f(x) 식 도출

 

(1) g(x)가 3π/2보다 작은 쪽에서 수렴하는 경우

 

이 경우 tan g(x)→+∞이므로 f(x)→-∞예요.

즉 f(x)의 최고차항 계수가 음수예요.

 

g(x)의 치역이 (π/2, 3π/2) 안에만 있어야 미분 가능 조건을 만족해요.

따라서 g(π)=nπ에서 n=1이어야 해요.

n이 1이 아니면 g(x)의 치역이 π/2 또는 3π/2를 포함하게 되어 f(x)가 미분 불가능해지는 모순이 생겨요.

 

 

n=1이므로 f(π)=π예요.

x=π에서 변곡점이므로 f(x)는 (π,π)에서 점대칭이에요.

(0,0)을 지나므로 (2π,2π)도 지나요.

 

(0,0), (π,π), (2π,2π)를 지나는 공통 직선 y=x가 보여야 해요.

세 교점을 알고 있으니 f(x)를 다음과 같이 세울 수 있어요.

 

 

 

최고차항 계수가 음수이므로 A<0이에요.

Step 1에서 구한 f'(π)=0 조건을 대입하면 다음과 같아요.

 

 

 

A값이 양수로 나왔어요.

최고차항 계수가 음수여야 한다는 조건에 모순이므로 이 경우는 불가예요.

 

(2) g(x)가 3π/2보다 큰 쪽에서 수렴하는 경우

 

이 경우 tan g(x)→-∞이므로 f(x)→+∞예요.

즉 f(x)의 최고차항 계수가 양수예요.

 

g(x)의 치역이 (3π/2, 5π/2) 안에만 있어야 미분 가능 조건을 만족해요.

따라서 g(π)=nπ에서 n=2이어야 해요.

n이 2가 아니면 g(x)의 치역이 3π/2 또는 5π/2를 포함하게 되어 f(x)가 미분 불가능해지는 모순이 생겨요.

 

 

n=2이므로 f(π)=2π예요.

x=π에서 변곡점이므로 f(x)는 (π,2π)에서 점대칭이에요.

(0,0)을 지나므로 (2π,4π)도 지나요.

 

(0,0), (π,2π), (2π,4π)를 지나는 공통 직선 y=2x가 보여야 해요.

f(x)를 다음과 같이 세울 수 있어요.

 

 

 

마찬가지로 f'(π)=0 조건을 대입하면 다음과 같아요.

 

 

 

A값이 양수로 나왔어요.

최고차항 계수가 양수여야 한다는 조건을 만족하므로 이 경우가 가능해요.

 

 

 

Step 5. 마무리 계산

 

f(x) 식이 확정됐으니 Step 2에서 구한 최종 답 -f'(0)을 계산할게요.

 

 

 

따라서 답은 ②이예요.

---

 

정리하며

 

이 문제는 세 단계의 전환이 핵심이었어요.

 

(가),(나) 기본 조건을 대입으로 처리하되 양변을 두 번 미분하는 오류를 피하는 것,

g(x)의 극한 조건을 보고 f(x)를 합성함수로 바라보는 관점 전환,

g(x)의 치역이 tanx의 미분 가능 구간 안에 있어야 한다는 조건으로 경우를 나누는 것.

 

특히 세 번째가 이 문제의 핵심이에요.

단순히 극한값이 3π/2라는 숫자에 집중하는 게 아니라,

그 값이 갖는 구조적 의미를 파악할 수 있어야 해요.

 

합성함수에서 겉함수의 정의역을 속함수의 치역으로 연결하는 사고는 이런 유형에서 반복적으로 나오는 핵심 감각이에요.

 

 

 

 

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