(가),(나)를 다 읽었는데 손이 안 움직였나요?
특정 항의 값도 없고, 식도 없고, 조건 두 개만 있어요.
뭔가 써보려고 해도 어디서 시작해야 할지 몰라서 멍하니 있다가 시간만 흘러간 경우도 있었을 거예요.
이 문제는 일단 수를 써보는 것이 시작이에요.
조건을 해석하려고 머릿속으로만 생각하면 아무것도 안 보여요.
예시를 하나 잡아서 수를 나열해보는 순간, 조건을 만족하는 수열의 형태가 보이기 시작해요.
반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.
글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.
29번 문제의 정체 : 예시를 들어 수를 나열하고, 제한된 경우의 수에서 조건에 부합하는 경우를 찾는 문제
이 문제를 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.
(나) 조건을 해석해 등비수열의 대략적인 형태를 파악하고,
제한된 경우의 수 안에서 (가) 조건을 만족하는 경우를 찾아내는 문제
(가),(나)를 읽어도 직접적으로 알려주는 항의 값이나 식이 없어요.
공비가 유리수인 등비수열에서 정수인 항이 3개라는 조건을 조합해,
수를 직접 나열하며 형태를 파악하는 것이 핵심이에요.
풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트
(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)
① 무한급수가 수렴하면 일반항이 0으로 수렴한다는 것을 바로 인지했는가? 무한등비급수가 수렴한다면 공비 r이 -1과 1 사이에 있어야 해요. 당연히 아는 내용이지만, 문제 첫 줄에 급수의 수렴이 나오면 반드시 체크하고 넘어가야 해요. 이 조건이 후반부에 중요하게 작용해요.
② (나)에서 정수인 항이 3개라는 조건을 보고 예시를 들어 연속한 세 정수항임을 파악했는가? 공비가 유리수이고 정수항이 3개라는 조건을 조합하면 연속한 세 항만 정수라는 결론이 나와요. 바로 못 떠올렸더라도 예시를 들어가며 수를 나열해보면 같은 결론에 도달할 수 있었어야 해요.
③ 제한된 경우의 수를 (가) 조건에 대입해 확인했는가? (나)에서 경우의 수를 추렸다면, (가)를 만족하는 경우를 찾아야 해요. 처음 몇 가지는 판단이 힘들 수 있어도, 이후 경우들은 수월하게 느껴졌으면 좋아요.
Step 1. 급수의 수렴 — 공비 r의 범위 확정
문제 첫 줄에 무한급수의 수렴이 나와요.
무한등비급수가 수렴하려면 일반항 an이 0으로 수렴해야 해요.
따라서 공비 r이 -1과 1 사이에 있어야 해요.
이 조건은 이후 경우의 수를 좁히는 데 핵심적으로 작용해요.
반드시 인지하고 넘어가야 해요.
Step 2. (나) 조건 해석 — 정수항 3개는 연속해야 한다
(나) 조건의 핵심 정보는 정수인 항이 정확히 3개라는 거예요.
공비가 유리수이고 Step 1에서 ∣r∣<1임을 알았어요.
이 두 조건을 조합하면, 수열에서 정수항이 나타나는 구조를 파악할 수 있어요.
정수가 아닌 유리수들이 나열되다가,
공비를 곱해가며 어느 순간 정수가 되고,
세 번째 정수항에서 공비를 곱한 이후로 다시 정수가 아닌 유리수들이 이어지는 형태예요.
즉 연속한 세 항만 정수예요.
바로 떠올리지 못했더라도 예시를 들어보면 이 구조를 확인할 수 있어요.
예시 1 : 첫째항이 9, 공비가 1/3인 등비수열
9, 3, 1, 1/3, 1/9,⋯
정수항은 9, 3, 1로 연속한 3개예요.
(나) 조건에 부합하는 형태예요.
예시 2 : 첫째항이 81/7, 공비가 7/9인 등비수열
81/7, 9, 7, 49/9, ⋯
정수항은 9, 7로 2개예요.
(나) 조건에 부합하지 않는 형태예요.
이렇게 예시를 통해 "연속한 세 정수항"이라는 구조를 확인할 수 있어요.
이제 연속하는 세 정수항의 곱이 216이에요.
등비중항을 이용하면 세 항 중 가운데 항이 6임을 알 수 있어요.
따라서 세 연속 정수항은 6/r,6,6r이고,
이 세 항만 정수이며 그 전후의 항은 정수가 아닌 유리수예요.
Step 3. r의 경우의 수 좁히기
지금까지 얻은 r의 조건을 정리하면 다음과 같아요.
- -1 < r < 1인 유리수
- 6r과 6/r이 정수
- 6r²과 6/r²은 정수가 아닌 유리수 (단, 6/r²은 첫째항이 6/r인 경우 해당 없음)
r이 음수일 수 있기 때문에 절댓값을 붙였어요.
6r이 정수이려면 a가 6의 약수여야 해요.
따라서 가능한 (a,b)의 후보는 다음과 같아요.
|r| < 1이어야 하므로 a >b인 경우만 남아요.
이 경우들을 각각 (가) 조건과 첫째항이 양수라는 조건에 대입해 확인하면 돼요.
Step 4. 경우의 수 확인 — 조건에 부합하는 경우 찾기
5가지 경우를 하나씩 확인할 거예요.
기준은 두 가지예요.
첫째항이 양수여야 하고, (가) 조건을 만족해야 해요.
처음 몇 가지는 판단 과정이 조금 길지만, 패턴이 보이기 시작하면 나머지는 빠르게 처리할 수 있어요.
(1) (a,b) = (2,1), 즉 r = ±1/2인 경우
r = 1/2이면 수열은 다음과 같아요.
6의 바로 전 항인 12의 전 항은 24로 정수예요.
연속한 세 정수항 조건에 어긋나므로 첫째항이 12로 고정돼요.
그런데 a1 + a2 = 12 + 6 = 18 >= 10이므로 (가) 조건 불만족이에요.
r = -1/2이면 연속한 세 정수항 조건에서 첫째항이 -12로 고정되는데,
첫째항이 양수여야 하므로 모순이에요.
→ 불가
(2) (a,b) = (3,1), 즉 r = ±1/3인 경우
r = 1/3이면 수열은 다음과 같아요.
6의 바로 전 항인 18의 전 항은 54로 정수예요. 따라서 첫째항이 18로 고정돼요.
a1 + a2 = 18 + 6 = 24 >= 10이므로 (가) 조건 불만족이에요.
r = -1/3이면 연속한 세 정수항 조건에서 첫째항이 -18로 고정되는데
양수 조건에 모순이에요.
→ 불가
(3) (a,b) = (6,1), 즉 r = ±1/6인 경우
r = 1/6이면 수열은 다음과 같아요.
... , 36, 6, 1, 1/6, ...
첫째항이 36으로 고정돼요.
a1 + a2 = 36 + 6 = 42 >= 10이므로 (가) 조건 불만족이에요.
r = -1/6이면 연속한 세 정수항 조건에서 첫째항이 -36으로 고정되는데
양수 조건에 모순이에요.
→ 불가
(4) (a,b) = (3,2), 즉 r = ±2/3인 경우
r = 2/3이면 수열은 다음과 같아요.
6의 바로 전 항인 9의 전 항은 27/2로 정수가 아니에요.
따라서 첫째항 후보로 9, 27/2, 81/4, ... 등이 있어요.
그런데 어떤 항이 첫째항이 되더라도 연속하는 두 항의 합이 모두 10 이상이에요.
(가) 조건 불만족이에요.
r = -2/3이면 수열은 다음과 같아요.
6의 바로 전 항이 -9로 정수예요.
따라서 첫째항 후보는 27/2 이후의 양수항들이에요.
첫째항이 27/2이면 a1 + a2 = 27/2 + (-9) = 9/2 < 10이에요. (가) 조건 만족
첫째항이 그 이전 항인 243/8이면 a1 + a2 = 243/8 + 27/2 * (-2/3) = 243/8 - 9 = 171/8 > 10이에요. 불가예요.
따라서 첫째항이 27/2, 공비가 -2/3인 수열이 가능해요.
최종 수열을 나열하면 다음과 같아요.
→ (가),(나) 조건 모두 만족
(5) (a,b) = (6,5), 즉 r = ±5/6인 경우
r = 5/6이면 수열은 다음과 같아요.
6/r = 36/5가 정수가 아니에요. 세 정수항 조건을 만족할 수 없으므로 불가예요.
r = -5/6도 같은 이유로 불가예요.
→ 불가
5가지 경우를 모두 확인했어요.
안 되는 이유가 크게 세 가지로 묶여요.
첫째항이 고정되어 (가) 조건을 넘어버리거나,
첫째항 양수 조건에 모순이거나,
정수항 조건 자체를 만족하지 못하는 경우예요.
조건을 만족하는 경우는 r = -2/3, 첫째항 27/2인 경우 하나뿐이에요.
Step 5. 등비급수 계산
{an}이 첫째항이 27/2, 공비가 -2/3인 등비수열이 확정됐어요.
따라서 p = 10, q = 81이므로 p + q = 91이에요.
정리하며
이 문제는 수열 문제의 가장 기본적인 태도를 묻는 문제였어요.
조건만 보고 식을 세우려 하면 막혀요.
예시를 들어 수를 나열하고,
구조를 먼저 파악하는 것이 출발점이에요.
연속한 세 정수항이라는 구조를 파악하고 나면 경우의 수가 5개로 좁혀지고,
각각을 확인하는 과정은 어렵지 않아요.
"수열은 결국 수를 써보는 학문"이라는 태도가 이 문제에서도 그대로 적용됐어요.
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다음 글은 2025년 9월 모의고사 수학 미적분 30번으로 돌아올게요. 읽어주셔서 감사해요!
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