2025년 9월 모의고사 수학 21번 풀이 : 그래프 몇 개 끄적이다 포기했다면, 처음부터 방향이 틀렸어요

 

부등식 조건 하나만 달랑 있는데, 어디서부터 시작해야 할지 몰랐나요?

평균 변화율이 보여서 그래프로 뭔가 해보려 했는데 각이 안 나오고,

그러다 시간만 흘러가고.

혹은 아예 미지수를 세울 생각조차 못 하고 멈춰버린 경우도 있었을 거예요.

 

이 문제는 그래프적 접근이 안 된다는 걸 빠르게 판단하고,

계수를 전부 미지수로 세워서 부등식 하나로 밀어붙이는 문제예요.

 

미지수가 3개나 있어도 조건 하나로 답이 나오게 설계되어 있어요. 그 믿음을 갖고 계산에 들어가야 해요.

 

반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.

 

 

글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.

수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.

 

 

 

2025년 9모 수학 21번 문제 원본

 

 

 

21번 문제의 정체 : 그래프 접근을 빠르게 포기하고 미지수로 세워 계산하는 문제

 

이 문제를 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.

 

그래프적 조치가 불가하다고 빠르게 판단하고,

계수를 전부 미지수로 세워 항상 성립하는 부등식으로 답을 구하는 문제

 

 

삼차함수가 나오면 보통 계형 추론을 시도해요.

하지만 이 문제는 조건이 부등식으로만 이루어져 있고,

f(x)가 아니라 f(2x)가 등장하며, 도함수도 함께 있어요.

계형 추론이 불가하다는 판단을 빠르게 내려야 해요.

 

 

 

풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트

(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)

 

① 그래프 접근이 안 된다고 판단하고 비교적 빠르게 미지수를 설정했는가? 평균값 정리, 평균 변화율 등 여러 시도를 할 수 있어요. 하지만 각이 안 나온다고 느껴지면 미지수를 세울 용기가 있어야 해요.

 

② 조건이 부등식 하나뿐이니, 대입하면 반드시 풀린다는 믿음을 가졌는가? 미지수가 3개여도 항상 성립하는 부등식이기 때문에 이것만으로 풀리게 설계되어 있어요. 그 믿음을 갖고 자신 있게 계산해야 해요.

 

③ 미지수가 포함된 항들을 한 곳으로 모아서 정리했는가? 항등식이든 부등식이든, 미지수가 있는 항을 한쪽으로 몰아서 확정된 함수와 비교하는 형태로 만드는 것이 가장 기본적인 풀이예요.

 

 

Step 1. 시행착오 — 평균 변화율, 평균값 정리 시도

 

y=f(x)가 최고차항의 계수가 1인 삼차함수라는 것을 먼저 인지하고 시작해야 해요.

이 조건이 중요하게 작용할 수 있어요.

 

문제에 나온 유일한 조건인 부등식의 가운데 항을 보면 평균 변화율이 바로 떠올라야 해요.

 

 

y=f(x) 그래프에서 (0, f(0))과 (2x, f(2x)) 사이의 평균 변화율이고, 분모의 -0이 생략된 거예요.

여기서 두 가지 시도를 해볼 수 있어요.

 

y=f(x)의 그래프를 평균 변화율 정보만으로 추론하려는 시도,

또는 평균값 정리를 사용해 가운데 항을 f'(c)로 바꾸고 (0<c<2x) 부등식을 풀려는 시도예요.

 

 

 

 

이런 시행착오는 당연한 과정이에요. 이렇게 풀리는 문제들도 있거든요.

다만 실제로 해보면 좌우변에 나온 도함수나 4차함수를 가지고 계형 추론이나 f'(c) 이용이 안 된다는 걸 느낄 거예요.

이 시도조차 해보지 않은 학생이라면 스스로 한번 해봐야 해요.

 

결론적으로 이 시행착오를 거치면 자연스럽게 부등식 자체로만 풀어야 한다는 걸 느끼게 돼요.

 

그러면 f(x)의 계수를 전부 미지수로 설정하고 풀이를 이어가야 해요.

 

 

 

 

Step 2. 믿음을 가지고 대입 후 정리

 

f(x)를 설정했으니 부등식에 등장하는 f'(x)와 f(2x)를 구해야 해요.

 

 

부등식에 대입하기 전에 두 가지 태도를 점검할게요.

 

첫째, 반드시 풀린다는 믿음이에요. 유일한 조건이 이 부등식 하나이기 때문에, 미지수가 3개여도 답이 나오게 설계되어 있어요. 자신감을 갖고 계산실수 없이 대입해 정리하겠다는 마인드가 필요해요.

 

둘째, 미지수가 있는 항들을 한 곳으로 모으는 것이에요. 항등식이든 부등식이든, 미지수가 계수에 있는 항들을 한쪽으로 몰아서 확정된 함수와 모르는 함수를 분리하는 형태로 만드는 게 가장 기본적인 첫 시도예요.

 

이제 부등식에 대입하면 다음과 같아요.

 

 

왼쪽 부등식과 오른쪽 부등식을 나눠서 미지수가 있는 항들을 한쪽으로 모아요.

 

 

 

좌측 부등식의 양변에 -2를 곱하면 좌측, 우측 부등식의 오른쪽에 위치한 두 식이 2ax+b로 같은 형태가 돼요.

같게 만들어주면 다음과 같아요.

 

 

 

 

Step 3. 그래프로 마무리 — 두 함수 사이의 직선 찾기

 

최종 변형된 부등식의 구조를 보면,

가운데의 일차함수(직선)가 이차함수와 4차함수 사이에 항상 끼어 있어야 해요.

0을 제외한 모든 실수 x에서 성립해야 하니까요.

 

좌표평면에 이차함수와 4차함수를 그린 뒤,

그 사이에 낄 수 있는 직선이 무엇인지 찾으면 돼요.

 

4차함수는 그리기 전에 미분해서 극값을 먼저 파악해야 해요.

우함수임을 염두에 두고 파악하면 돼요.

 

 

 

 

 

그래프를 그려보면, 두 함수 사이에 낄 수 있는 직선은 y=-4로 오직 하나예요.

따라서 a=0, b=-4로 확정돼요.

 

c값은 f'(x)=3x²+2ax+b에서 등장하지 않아요.

c의 값에 상관없이 문제의 조건을 만족하므로 알 필요가 없어요.

 

f'(10) = 300 + 0 - 4 = 296이에요.

 

 

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정리하며

 

이 문제는 그래프 접근을 시도해보고, 안 된다는 걸 느끼고, 미지수로 전환하는 흐름이 핵심이었어요.

 

시행착오를 거쳐 자연스럽게 미지수 설정으로 넘어오는 것,

미지수가 3개여도 부등식 하나로 풀린다는 믿음을 갖는 것,

미지수 항을 한쪽으로 모아 확정된 함수와 비교하는 형태로 만드는 것.

 

이 세 가지 흐름이 몸에 배어 있으면 이 유형은 흔들리지 않아요.

신박한 풀이보다 기본 흐름을 확실히 익히는 게 시험장에서 훨씬 강해요.

 

 

 

 

 

 

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