2025년 9월 모의고사 수학 미적분 30번 풀이 : 치환도 안 되고 부분적분도 안 되면, 그냥 적분을 의심했어야 해요

 

ln 안에 f'(x)에 g(x)까지 분수로 엮여 있는 걸 보는 순간 머릿속이 하얘졌나요?

치환적분 해보고, 부분적분 이것저것 시도해봤는데 아무것도 안 풀리고.

그러다 시간만 흘러가버린 경우가 많았을 거예요.

 

사실 막힌 순간 해야 할 생각은 단순해요.

 

치환도 안 되고, 부분적분도 안 되면 — 그냥 적분을 의심해라.

 

 

그리고 그 전에 한 가지가 더 있어요.

복잡한 ln 식을 보고 손을 놓기 전에, 문제 전체를 먼저 끝까지 읽어야 했어요.

구하라는 식에 ef(x)가 있고, 조건들이 g(x)로 구성되어 있다는 걸 봤다면

ln 식을 지수 형태로 바꾸는 게 자연스러운 출발점이었거든요.

 

반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.

 

 

글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.

수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.

 

 

미적분 30번 문제 원본

 

 

 

미적분 30번 문제의 정체 : ln 식을 지수로 바꾸고, 그냥 적분이 되는 형태를 찾아내는 문제

 

이 문제를 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.

 

복잡해 보이는 ln 식을 지수 형태로 전환한 뒤,
치환·부분적분이 안 되면 그냥 적분을 의심해서 풀어내는 문제

 

 

치환적분과 부분적분을 시도해봐도 막히는 게 이 문제의 설계예요.

그 막힌 순간에 "그냥 적분이 되는 형태 아닐까?"를 의심하는 태도가 이 문제의 핵심이에요.

 

 

풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트

(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)

 

① f(x)와 ln 안에 주어진 식을 지수 형태로 바꿨는가? 구하라는 정적분 식과 주어진 조건들을 보면 반드시 지수 형태로 바꿔야 한다는 걸 알아챌 수 있어야 해요.

 

② 치환·부분적분이 모두 불가능하다고 느낀 뒤 그냥 적분을 시도했는가? 한눈에 알아보기 어려운 그냥 적분 형태를 줄 수 있어요. 치환·부분적분이 막혔을 때 마지막으로 의심해봐야 해요.

 

③ 그냥 적분의 결론을 활용한 부분적분으로 마무리 계산을 잘 했는가? 그냥 적분을 찾아냈다면, 이를 활용한 부분적분으로 마무리 계산도 자연스럽게 이어질 수 있어야 해요.

 

 

Step 1. 문제를 끝까지 읽고 — ln 식을 지수 형태로 전환

 

f(x) 식이 처음부터 굉장히 복잡하게 생겼어요.

ln 안에 f'(x)와 g(x)가 분수로 엮여 있어요.

이럴 때 바로 계산에 들어가면 안 돼요.

 

일단 문제를 끝까지 읽어야 해요.

 

끝까지 읽어보면 두 가지가 눈에 들어와요.

조건들이 g(x)를 포함한 정적분으로 구성되어 있고, 구하라는 것도 ef(x)가 포함된 정적분이에요.

 

이 두 가지를 확인한 순간, ln 식을 지수 형태로 바꾸는 게 자연스러운 출발점이에요.

 

또한 f(1)의 값이 주어져 있으므로

양변에 대입해 정보를 얻으려는 시도도 반드시 해야 해요.

 

실제 계산에서 바로 쓰이지 않더라도,

조건을 확인하는 작업이에요.

 

 

 

 

ln 식을 지수 형태로 바꾼 결과는 다음과 같아요.

 

 

 

 

 

Step 2. 조건 대입 후 정리 — 치환·부분적분이 안 되면 그냥 적분을 의심

 

Step 1의 결과를 조건 (1)과 (2)에 대입하면 다음과 같아요.

 

 

 

(1)부터 처리할게요.

(1+xf'(x))와 ef(x)가 곱해진 형태이니 부분적분을 먼저 의심해야 해요.

 

(1+xf'(x))를 적분하고 ef(x)를 미분하는 방향을 생각해보면,

xf'(x)의 적분은 부분적분이 또 필요하고 그러면 f(x)의 적분 형태가 다시 생겨요. 막혀요.

 

반대로 ef(x)를 적분하고 (1+xf'(x))를 미분하는 방향은,

ef(x)의 적분을 모르니 시작도 안 돼요.

 

치환적분도 마찬가지예요. dx와 함께 변형될 항이 보이지 않아요.

 

치환도 안 되고, 부분적분도 안 된다면 — 그냥 적분을 의심해야 해요.

 

(1)의 정적분 내부 식을 전개하면 다음과 같아요.

 

 

 

 

이제 "어떤 식을 미분하면 이 형태가 나올까?"를 고민해야 해요.

 

f'(x)ef(x)가 ef(x)를 미분한 결과라는 걸 인식할 수 있다면,

xef(x)를 미분하면 xf'(x)ef(x) + ef(x)가 나온다는 걸 볼 수 있어요.

 

따라서 (1)의 계산 결과는 다음과 같아요.

 

 

 

f(1)을 알고 있으니 더 계산할 수 있지만,

지금 당장 계산하지 않고 넘어가도 돼요.

 

 

Step 3. (1)의 결과를 활용한 부분적분으로 마무리

 

이제 (2)만 계산하면 답이 나와요.

 

(2)를 보면 Step 2에서 구한 (1)의 결과인 xef(x)가 포함된 구조가 보여야 해요.

이를 활용하면 부분적분으로 자연스럽게 계산이 이어져요.

 

 

 

두 번째 줄에서 Step 1의 결과가 활용돼요.

 

(2)의 계산이 여기서 마무리되는 이유는,

구하라는 정적분 식이 나왔고 f(1)은 알고 있으며 ef(2)는 (1)에서 구할 수 있기 때문이에요.

 

(1)의 계산을 마무리해 ef(2)를 구하면 다음과 같아요.

 

 

이를 (2)에 대입하면 다음과 같아요.

 

 

따라서 정답은 31이에요.

 

---

 

정리하며

이 문제의 흐름은 세 단계였어요.

 

복잡한 ln 식을 보고 멈추지 않고 문제를 끝까지 읽어 지수 형태로 전환하는 것,

치환·부분적분이 막혔을 때 그냥 적분을 의심하는 것,

그냥 적분의 결과를 활용해 부분적분으로 마무리하는 것.

 

그냥 적분이 안 보여서 막혔다면, 앞으로는 이것도 반드시 고려하는 태도를 갖는 게 중요해요.

봤는데도 계산을 못 만들어냈다면,

기본적인 적분 계산 능력을 더 쌓아야 해요.

 

이 두 가지 중 어디서 막혔는지 스스로 점검해보세요.

 

 

 

 

 

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