절댓값에 극점까지 나오는 복잡한 함수를 보고
어디서 시작해야 할지 몰라서 멈췄나요?
g(x)=f(t(x))라는 합성함수 구조는 보였는데,
속함수와 겉함수를 분리해서 각각을 해석하는 연습이 부족해
조건들을 f(x)로 옮기지 못하고 막혔나요?
이 문제는 합성함수를 속함수와 겉함수로 분리하고,
g(x)에 대한 조건들을 f(x)에 관한 조건으로 바꿔 삼차함수를 추론하는 것이 전부예요.
구조를 파악하는 순간 방향이 보여요.
반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.
글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.
30번 문제의 정체 : 합성함수 분리 + f(x) 추론
이 문제의 흐름을 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.
g(x)에 대한 조건들을 속함수 t 치환을 통해 f(x)에 관한 조건으로 바꾸고,
삼차함수를 추론해 g(0)의 최솟값을 구하는 문제
속함수를 t로 치환하면 g(x)는 정의역이 (0,2)로 좁혀진 |f(t)|로 해석돼요.
이 구조가 보이면 이후 풀이가 자연스럽게 이어져요.
풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트
(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)
① 합성함수는 속함수와 겉함수를 분리해 각각을 해석했는가? 속함수를 t로 치환하면 g(x)를 두 단계에 걸쳐 해석할 수 있어요. 치환 없이 g(x)를 한 번에 해석하려 하면 막혀요.
② 절댓값으로 인해 극대 구간이 극소로 바뀔 수 있다는 것을 인지했는가? f(x)의 극대 구간이 x축 아래에 있다면, 절댓값을 씌웠을 때 극소로 바뀌어요. 이걸 인지해야 (가) 조건을 정확히 파악할 수 있어요.
③ g(x)의 미분 불가 지점 후보를 정확히 파악했는가? 속함수 t는 증가함수이므로 미분 불가 지점을 만들지 않아요. 결국 f(x)가 x축과 교차하는 지점이 미분 불가 후보예요. 접하는 경우는 미분 가능해요.
Step 1. 속함수 t 치환 — 합성함수 구조 파악
f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수예요.
우리가 최종적으로 찾아야 하는 것이에요.
g(x)의 정의를 보면 합성함수 구조예요.
합성함수를 해석하는 기본은
속함수와 겉함수를 분리해 각각을 파악하는 것이에요.
속함수를 t로 치환하면 g(x)는 다음과 같아져요.
속함수 t를 x에 대해 미분하면 다음과 같아요.
t'>0이므로 t는 x에 대한 증가함수예요.
양 끝단을 살펴보면 x→-∞일 때 t→0, x→+∞일 때 t→2예요.
0과 2는 포함되지 않아요.
t가 순증가함수이므로 g(x)의 증감은 f(t)의 증감과 완전히 일치해요.
즉 g(x)는 f(x)의 정의역을 (0,2)로 좁혀서 절댓값을 씌운 것과 증감 구조가 동일해요.
t가 x와 일대일 대응이기 때문에 x가 움직일 때 t도 같은 방향으로 움직이고,
따라서 증감의 방향이 뒤집히지 않아요.
이게 바로 보인다면 이후 풀이가 한결 빠르게 진행돼요.
안 보였더라도 괜찮아요.
합성함수 미분을 통해 같은 결론에 도달할 수 있고,
이 글에서도 그 방향으로 설명할 거예요.
다만 t의 그래프와 증감 구조를 파악하려고 시도해보는 습관 자체는 꼭 익혀두길 바라요.
Step 2. (가) 해석 — 절댓값과 극점 조건
(가)에서 g(x)는 x=0에서 극소이고 실수 전체에서 미분 가능하다고 했어요.
g(x)를 f(t)의 부호에 따라 구분해 쓰면 다음과 같아요.
이를 바탕으로 g'(x)를 구하면 다음과 같아요.
g(x)가 x=0에서 극소이므로 g'(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌어야 해요.
t'>0임을 알았으므로, f'(t)의 부호 변화가 핵심이에요.
x=0일 때 t=1이므로 f(1)의 부호에 따라 경우가 나뉘어요.
각 경우별로 g'(x)식의 부호 변화를 생각해 잘 따라와보세요.
(ⅰ) f(1)>0이면 g(x)=f(t)이므로,
x=0에서 극소이려면 t=1에서 f(t)가 극소여야 해요.
즉 삼차함수 f(x)의 관점에서는 x=1에서 f(x)가 극소예요.
(ⅱ) f(1)<0이면 g(x)=-f(t)이므로,
x=0에서 극소이려면 t=1에서 -f(t)가 극소, 즉 f(t)가 극대여야 해요.
즉 삼차함수 f(x)의 관점에서는 x=1에서 f(x)가 극대예요.
이 부분이 f(t)와 f(x)를 혼용해서 헷갈릴 수 있어요.
t(x) 함수와 f(t)의 예시를 함께 그려보면 직관적으로 이해할 수 있어요.
(ⅲ) f(1)=0이면 g(x)가 미분 가능하려면 f'(1)=0이어야 해요.
f'(1)≠0이면 t=1 근방에서 f(t)의 부호가 바뀌고,
절댓값을 씌웠을 때 x=0에서 좌미분계수와 우미분계수의 부호가 반대가 되어 미분 불가능해져요.
그런데 g(0)>0이라고 했으므로 대입해보면 x=0일 때 t=1에서 f(1)≠0이에요.
따라서 (ⅲ)은 배제되고 (ⅰ),(ⅱ) 둘 중 하나예요.
그래프적으로 정리하면 이렇게 돼요.
f(1)>0이면 절댓값을 씌워도 극소 형태가 그대로 유지되고,
f(1)<0이면 절댓값을 씌웠을 때 x축 대칭이 되어 극대가 극소로 바뀌어요.
그리고 f(x)=0인 지점에서는 반드시 접해야 미분 가능해요.
Step 3. (나) 조건 해석
g'(ln3)<0 조건을 step2의 g'(x) 식에 대입할게요.
x=ln3일 때 t=3/2, t'=3/16이므로 다음과 같아요.
f(3/2)>0이면 f'(3/2)<0이고,
f(3/2)<0이면 f'(3/2)>0이에요.
g'(-ln3) 조건도 같은 방식으로 대입할게요.
x=-ln3일 때 t=1/2, t'=3/8이므로 다음과 같아요.
f(1/2)의 부호에 따라
절댓값을 벗길 때 -가 튀어나올지 결정돼요.
지금까지 나온 조건들을 종합하면 다음과 같아요.
- x=1에서 f(x)가 극대 또는 극소
- f(3/2)의 부호에 따라 f'(3/2)의 부호 결정
- f(1/2)의 부호에 따라 절댓값 계산시 부호 결정
- g(x)가 실수 전체에서 미분 가능 → f(x)가 (0,2)에서 x축과 만나는 경우 반드시 접해야 함
f(x)의 정확한 형태를 알려면
x=1/2와 3/2에서 f(x)의 부호를 확정해야 해요.
이를 위해 f(x)를 추론해야 해요.
Step 4. y=f(x) 추론
f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수예요.
t의 치역이 (0,2)이므로 f(t)는 f(x)의 정의역이 (0,2)로 좁혀진 상황이에요.
0과 2가 포함되지 않는다는 것도 놓치면 안 돼요.
step2에서 x=1에서 f(x)가 극대인 경우와 극소인 경우로 나뉘었으므로 각각 확인할게요.
부등식의 계산은 본인이 직접 해보고 비교해주세요!
(ⅰ) x=1에서 극대인 경우
step2에서 x=1에서 극대이면 f(1)<0이어야 해요.
그래서 x축의 위치가 확정돼요.
x=α에서 극소라 하고 f(x)=0의 근을 k라 할게요.
(0,2) 구간에서 g(x)가 미분 가능하려면
f(x)=0인 지점이 구간 안에 있을 때 반드시 접해야 해요.
2가 k보다 크면 f(k)=0인데 접하지 않으니 f(2)≤0이어야 해요.
그림에서 f(3/2)<0이므로 f'(3/2)>0이에요.
따라서 3/2이 α보단 오른쪽에 있어야해요.
x=1/2의 위치도 나왔어요.
f(1/2)<0이므로 (나)의 두 번째 조건이 해석 가능해요.
지금까지 나온 조건들을 정리하면 다음과 같아요.
f'(x)=0인 지점이 x=1과 x=α이므로
f'(x) = 3(x-1)(x-α)로 설정할 수 있어요.
이를 적분해 f(x)를 구하면 미지수는 α와 적분상수 C 두 개예요.
조건 (1)~(4)를 대입하면 다음과 같아요.
g(0)의 최솟값을 구해야 해요.
x=0일 때 t=1이므로 g(0) = |f(1)|이에요.
f(1)<0이므로 g(0) = -f(1)이고,
g(0)의 최솟값은 f(1)의 최댓값을 찾으면 돼요.
(4)에서 α를 C에 대해 정리한 뒤 f(1)의 식에 대입하면 다음과 같아요.
(1),(2),(3)에 의한 C의 최종 범위는 다음과 같아요.
f(1)은 C=-2일 때 최댓값을 가지므로
g(0)의 최솟값은 11/14예요.
(ⅱ) x=1에서 극소인 경우
x=1에서 극소이면 f(1)>0이어야 해요.
따라서 x축의 위치가 특정돼요.
이 경우 (0,2) 구간에서 f(3/2)>0이므로 step3에서 f'(3/2)<0이어야 해요.
하지만 x=3/2의 위치를 보았을 때 f'(3/2)>0이어야 해요.
따라서 이 경우는 불가능해요.
Step 5. 마무리
가능한 경우는 x=1에서 f(x)가 극대인 경우뿐이고,
g(0)의 최솟값은 11/14예요.
p=14, q=11이므로 정답은 25예요.
정리하며
이 문제는 합성함수를 분리해
g(x)에 대한 조건을 f(x)에 관한 조건으로 바꾸는 것이 전부였어요.
속함수와 겉함수를 분리하고,
절댓값이 극값의 형태를 바꿀 수 있다는 것을 인지하고,
조건들을 하나씩 f(x)로 옮기다 보면 삼차함수의 형태가 자연스럽게 좁혀졌어요.
합성함수가 나오면 속함수와 겉함수를 분리하는 것, 절댓값이 있으면 부호를 명확히 판단하는 것.
이 두 가지 태도가 이번 문제뿐만 아니라 앞으로 만날 비슷한 구조의 문제에서도 방향을 잡아줄 거예요.
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읽어주셔서 감사해요! 다음 글은 따끈따끈한 2026년 3월 모의고사 풀이로 돌아올게요.
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