2025년 6월 모의고사 수학 14번 풀이 : 사인값 비를 보고 길이 비가 떠올랐나요?

 

사인값 비 조건을 보고 일단 옆에 써두기만 했나요?

sinA : sinC 같은 조건을 보고 "일단 메모해두고 나중에 쓰자"하면서 넘긴 뒤,

나머지 조건만 가지고 풀려다 막힌 경우가 있었을 거예요.

이 조건이 길이 비를 직접 주고 있다는 연결이 안 된 거예요.

 

혹은 길이는 다 구했는데 그다음이 막막했나요?

코사인 법칙 한 번 써보고, 사인 법칙도 써봤는데 원하는 게 안 나오고.

어디선가 계산이 꼬이는 것 같은데 어디서 틀렸는지도 모르겠고.

결국 계산지만 가득 채우다가 시간이 다 갔던 경우도 있었을 거예요.

 

이 문제는 사인값 비를 길이 비로 전환하는 것과 어떤 삼각형에서 어떤 법칙을 어떤 순서로 쓸지 설계하는 것,

이 두 가지가 전부예요.

이게 잡히면 계산 자체는 어렵지 않아요.

 

반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.

 

글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.

수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.

 

 

 

14번 문제 원본

 

 

 

14번 문제의 정체 : 사인값 비를 길이 비로 전환하고, 결정된 삼각형을 기준으로 코사인·사인 법칙을 순서대로 적용하는 문제

 

이 문제를 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.

 

사인값 비를 길이 비로 전환해 모든 길이를 구한 뒤,
결정된 삼각형을 기준으로 코사인·사인 법칙을 설계해 외접원의 반지름을 구하는 문제

 

삼각형과 외접원이라는 정형화된 틀에 사인값 비 조건 하나가 추가된 문제예요.

비슷한 유형을 충분히 풀어봤다면 익숙하게 느껴졌을 거예요.

 

 

풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트

(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)

 

① 사인값 비를 길이 비로 바꿔 생각했는가? 같은 삼각형 안에서 두 각의 사인값 비가 주어지면, 사인법칙에 의해 대변의 길이 비가 바로 나와요. 이게 자동으로 떠올라야 해요.

 

② 모든 길이 비를 실제 길이로 매끄럽게 전환했는가? 선분 AQ의 실제 길이가 주어지므로, 이것과 비교해 지금까지 구한 모든 길이 비를 실제 길이로 바꿔줄 수 있어야 해요.

 

③ 길이를 구한 후 코사인·사인 법칙을 쓰는 순서를 설계하고 계산했는가? 방향 없이 계산부터 들어가면 시간이 낭비돼요. 어떤 삼각형에서 어떤 법칙을 어떤 순서로 쓸지 먼저 정해놓고 계산해야 해요.

 

 

Step 1. 그림에 길이 비 전부 표시

 

기하 문제의 기본은 문제에 나온 모든 조건을 그림에 알아보기 쉽게 표시하는 거예요.

 

점 P가 선분 BC의 중점이고,

점 Q가 선분 BC를 5:1로 내분하는 점이에요.

 

점 Q가 선분 BC를 5:1로 내분하므로

선분 BC의 길이를 6k로 표현하면,

선분 BQ = 5k, 선분 QC = k예요.

 

점 P는 중점이므로 선분 BP = 선분 PC = 3k예요.

따라서 선분 BP : 선분 PQ : 선분 QC = 3 : 2 : 1이에요.

여기에 선분 AQ의 길이까지 표시하면 1차 그림이 완성돼요.

 

 

다음으로 사인값 비 조건이 나와요.

중요한 건 두 각이 한 삼각형 안의 각이라는 점이에요.

한 삼각형 안에서 두 각의 사인값 비가 주어지면,

사인법칙에 의해 외접원의 반지름이 같으므로 자동으로 대변의 길이 비가 나와요.

 

 

 

 

그런데 선분 AQ의 실제 길이가 3루트2로 주어졌으므로 k = 1이에요.

따라서 지금까지 나왔던 모든 길이 비를 실제 길이로 바꿀 수 있어요.

 

 

 

Step 2. 외접원 반지름 R을 구하는 계산 설계

 

길이들을 다 구했으면 이제 방향을 잡아야 해요.

방향 없이 계산부터 들어가면 시간이 낭비돼요.

 

지금 삼각형 ABQ는 세 변이 모두 결정된 상태예요 (SSS).

코사인 법칙으로 모든 각을 구할 수 있어요.

 

삼각형 ABC의 외접원 반지름은 사인법칙으로 구할 수 있어요.

삼각형 ABQ 안의 각 중 삼각형 ABC와 공유하는 각은 각 B예요.

따라서 계산 순서는 다음과 같아요.

 

 

 

 

 

 

결정된 삼각형을 기준으로 나머지를 구해나가는 흐름이에요.

이 설계만 잡히면 이후 계산은 어렵지 않아요.

 

 

Step 3. 계산

 

설계가 끝났으니 그대로 계산하면 돼요.

 

먼저 삼각형 ABQ에서 코사인 법칙으로 각 B의 코사인 값과 사인 값을 구해요.

 

 

다음으로 삼각형 ABC에서 코사인 법칙으로 선분 AC의 길이를 구해요.

 

 

이제 삼각형 ABC에서 각 B와 선분 AC에 대해 사인법칙을 사용해요.

 

 

따라서 삼각형 ABC의 외접원의 넓이는 다음과 같아요.

 

 

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정리하며

 

이 문제는 사인값 비를 길이 비로 전환하는 첫 발걸음과,

길이를 다 구한 뒤 계산 방향을 설계하는 두 번째 발걸음이 핵심이었어요.

 

삼각형과 외접원이 나오면 사인·코사인 법칙을 쓰는 건 알고 있어요.

그런데 어느 삼각형에서, 어떤 순서로 쓸지 결정하는 게 이 유형의 진짜 실력이에요.

 

결정된 삼각형을 기준으로 생각하는 태도를 갖추면,

이보다 난이도 있는 문제에서도 흔들리지 않을 수 있어요.

 

 

 

 

 

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