조건이 너무 많아서 읽다가 포기하고 넘어갔나요?
극한식을 보고 미분계수라고 생각해서 바로 g'(a)로 처리하려다가,
불연속 지점에서 막혀버렸나요?
이 문제는 조건이 많아 보여도 읽어가며 하나씩 정리하면 방향이 보여요.
극한식의 정체를 정확히 파악하고,
삼차함수 추론을 가장 특수한 경우부터 시작하면 생각보다 빠르게 답에 도달할 수 있어요.
반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.
글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.
15번 문제의 정체 : 우미분계수 존재 조건으로 그래프 형태를 좁히고, 삼차함수 추론으로 f(x)를 결정하는 문제
이 문제를 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.
주어진 극한식이 모든 실수에서 존재하고 0 이하라는 조건으로 g(x)의 그래프 형태를 좁힌 뒤,삼차함수 추론으로 f(x)를 결정하는 문제
삼차함수 추론 문제에 우미분계수 조건이 추가된 형태예요.
가능한 경우 하나만 찾으면 답이 나오므로,
시험장에서는 특수한 경우부터 빠르게 좁혀가는 게 핵심이에요.
풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트
(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)
① 문제를 읽어가며 해야 할 작업들을 미리 처리했는가? f'(0)=6에서 일차항 계수가 6임을 인식하고, 최고차항 계수 부호가 주어지지 않았으니 양수·음수 모두 고려해야 함을 인지하고, g(x)의 대략적 구조를 미리 파악해두는 것이에요. 나중에 어려운 조건을 처리할 때 부담이 훨씬 줄어들어요.
② 주어진 극한식이 우미분계수임을 인식하고, g(x)가 불연속일 수 있다는 점을 고려했는가? 극한식은 형태상 우미분계수예요. 다만 g(x)가 불연속일 수 있으므로, 미분가능하다고 가정하면 안 돼요. 불연속 지점에서 우미분계수가 존재하려면 그래프의 형태에 조건이 생겨요.
③ 삼차함수 추론을 특수한 경우부터 시작했는가? 이전에 다룬 삼차함수 추론 문제들에서도 강조했던 태도예요. 가장 특수한 경우부터 시작해 안 되는 이유를 찾다 보면 가능한 형태가 자연스럽게 좁혀져요.
Step 1. 문제 해석 — 읽어가며 인지해야 할 것들
어려운 문제일수록 읽어가며 미리 정리해두어야 할 것들이 많아요.
나중에 어려운 조건을 처리할 때 이 사전 작업들이 큰 도움이 돼요.
먼저, f'(0)=6이에요.
이걸 그냥 넘기지 말고,
f(x)의 일차항 계수가 6이라는 것을 인식해두어야 해요.
f(0)은 상수항, f'(0)은 일차항 계수라는 관계는 자주 쓰이는 연결이에요.
다음으로, f(x)는 삼차함수인데 최고차항의 계수에 관한 정보가 없어요.
양수인 경우와 음수인 경우 모두 가능하다는 것을 반드시 인지해야 해요.
추론 과정에서 습관적으로 양수만 생각하다가 놓치는 경우가 많아요.
그리고 y=g(x)의 대략적인 구조를 미리 파악해두면 좋아요.
|x|>1인 구간에서는 f(x)를 y축 방향으로 k만큼 평행이동시킨 것이고,
|x|≤1인 구간에서는 f(x)를 x축 대칭시킨 것이에요.
나중에 f(x)를 추론할 때 이 구조가 중요하게 작용해요.
마지막으로, 문제에서 구하라는 것을 보면 f(x)와 k가 하나로 결정될 가능성이 높아요.
즉 삼차함수 추론 시 조건에 부합하는 경우를 하나만 찾아도 거기서 답이 나와요.
시험장에서 유용한 팁이에요.
Step 2. (가) 극한값 조건 해석 — 우미분계수 존재 조건
(가)에 나온 극한식을 극한식 (1)이라고 할게요.
극한식 (1)은 형태상 우미분계수예요.
g(x)가 미분가능한 구간에서는 이 값이 반드시 존재해요.
g(x)의 식을 보면
x=-1과 x=1을 제외한 구간에서는 f(x)가 미분가능하기 때문에 g(x)도 미분가능해요.
따라서 이 구간에서는 우미분계수가 반드시 존재해요.
문제는 x=-1과 x=1이에요.
이 두 지점에서는 g(x)가 불연속일 수 있어요.
불연속인 지점에서는 우미분계수가 존재하지 않을 수도 있으므로,
조건에 맞게 그래프의 형태를 좁혀야 해요.
불연속인 지점 x=k에서 우미분계수가 존재하려면 어떤 조건이 필요한지 경우별로 살펴볼게요.
불연속이라는 건 함숫값, 좌극한, 우극한 세 가지 중 적어도 하나가 다르다는 뜻이에요.
이 세 값의 관계에 따라 불연속의 형태가 달라지고, 우미분계수 존재 여부도 달라져요.
경우를 나눠서 하나씩 살펴볼게요.
(1) 함숫값, 좌극한, 우극한이 모두 다른 경우
우미분계수가 존재하지 않아요.
x가 k보다 큰 쪽에서 k로 다가갈 때 두 점 사이의 기울기가 무한대로 발산해요.
(2) 좌극한만 다른 경우 (함숫값 = 우극한)
우미분계수가 존재해요.
x가 k보다 큰 쪽에서 k로 다가갈 때 두 점 사이의 기울기가 수렴하고, 이 값이 우미분계수예요.
(3) 우극한만 다른 경우
우미분계수가 존재하지 않아요.
x가 k보다 큰 쪽에서 k로 다가갈 때 기울기가 무한대로 발산해요.
(4) 함숫값만 다른 경우 (좌극한 = 우극한 ≠ 함숫값)
우미분계수가 존재하지 않아요.
x가 k보다 큰 쪽에서 k로 다가갈 때 기울기가 무한대로 발산해요.
네 경우를 살펴본 결과, 불연속 지점에서 우미분계수가 존재하려면 함숫값과 우극한이 같아야 해요.
또한 전체 구간에서 우미분계수 값이 0 이하이려면, 미분가능한 모든 지점에서 감소하는 그래프여야 해요.
Step 3. 삼차함수 추론 — 가능한 형태 좁히기
이전에 다룬 2026학년도 수능 21번, 2025년 9월 모의고사 21번에서도 강조했듯이
삼차함수 추론의 기본은 가장 특수한 경우부터 시작하는 거예요.
특수한 경우가 안 되는 이유를 찾다 보면 일반적인 경우까지 자연스럽게 좁혀져요.
k는 일단 양수로 가정하고 그릴게요.
음수일 수 있다는 것은 염두에 둬야 해요.
검정색이 f(x), 초록색이 g(x)예요.
경우 (1) : f(x)가 x축과 x=-1에서 만나고 x=1에서 접하는 경우
x=-1에서는 함숫값과 우극한이 같으므로 우미분계수가 존재해요.
그런데 x=1에서는 k만큼 평행이동한 부분과 x축 대칭 부분의 함숫값이 달라서 우미분계수가 존재하지 않아요.
이를 해결하려면 x>1 범위에서 k만큼 평행이동시켰을 때, x=1에서
|x|≤1 범위의 그래프와 붙어야 해요.
한마디로 x=1에서 왼쪽과 오른쪽이 붙도록 k가 조정하는 거에요.
수식적으론 다음이 성립해야 해요.
또한 전체 구간에서 우미분계수가 0 이하이려면, |x|≤1 구간에서 y=-f(x)가 감소해야 해요.
이는 f(x)가 해당 구간에서 증가해야 한다는 뜻이에요.
그리고 |x|>1 구간에서 y=f(x)+k가 감소하려면 f(x)의 최고차항 계수가 음수여야 해요.
경우 (1) 자체는 조건을 만족하지 못하지만,
이 과정에서 두 가지 중요한 결론을 얻었어요.
- f(x)의 최고차항 계수는 음수
- f(x)는 -1≤x≤1에서 증가하는 형태
- x=1에서 k만큼 이동했을 때 좌우가 붙어야 함
경우 (2) : f(x)가 x=-1에서 접하고, x=-1과 x=1에서 극값을 갖는 경우
경우 (1)의 결론을 바탕으로 그리면 (가) 조건은 만족해요.
이제 (나) 조건을 확인해야 해요.
g(x)=t의 실근이 2개가 되는 t의 최댓값이 13인지 확인하면 돼요.
이 경우를 살펴보면 실근이 2개인 t의 범위가 -k<t≤0이고 최댓값이 0이에요.
13이 아니에요.
왜 0이냐면, x=-1 바로 오른쪽은 x축 대칭이 되는데
(-1, 0)을 대칭시켰으므로 똑같이 (-1, 0)이 되기 때문이에요.
(-1, -13)을 대칭시켰다면 최댓값이 13이 될 거라는 걸 유추할 수 있어요.
Step 4. 삼차함수 추론 — 조건을 만족하는 경우 확정
경우 (3) : x=-1과 x=1에서 극값이고, (-1, -13)을 지나는 경우
경우 (2)에서 f(x)를 아래로 13만큼 내린 그래프라고 생각하면 돼요.
(가)와 (나) 조건을 모두 만족해요.
이 경우가 답인 경우예요.
여기서 유의할 점이 두 가지예요.
하나는 k의 부호예요.
k가 양수냐 음수냐가 중요한 게 아니라,
f(x) 그래프를 기준으로 x=1의 오른쪽 부분을 왼쪽 부분에 k만큼 이동시켜 붙인다는 그래프적 의미가 핵심이에요.
경우 (3)의 그림에서 k가 양수로 나온 건 f(1)이 음수인 경우로 그렸기 때문이고,
f(1)이 양수인 경우로 그렸다면 k는 음수가 돼요.
부호보다 "붙인다"는 조건 자체를 정확히 이해하고 있어야 해요.
다른 하나는 더 중요한데, 경우 (3)처럼 특수한 경우 말고 일반적인 경우도 가능하지 않은지 반드시 고민해야 해요.
답이 하나인 문제에서도 마찬가지예요.
이유는, 삼차함수를 결정하려면 4개의 조건이 필요한데,
특수한 경우는 조건이 초과되어 나머지 식들과 모순이 생길 수 있거든요.
경우 (3)을 예시로 들면,
굳이 x=-1과 x=1에서 극값을 가질 필요가 없는데 그렇게 가정했다면
f'(-1)=f'(1)=0이라는 조건이 초과 조건이 되어 다른 식과 모순을 일으킬 수 있어요.
따라서 답인 것 같은 경우를 찾고도
다른 일반적인 경우에서도 가능하지 않은지 확인하는 고민은 반드시 필요해요.
이 문제에서는 경우 (1)에서 도출한 "감소 조건" 때문에 x=-1과 x=1에서 반드시 극값을 가져야 한다는 결론이 나와서
(3)이 유일한 경우가 돼요.
경우 (4)가 바로 그 확인 과정이에요.
경우 (4) : |x|>1 구간 밖에서 극값을 갖는 경우
|x|>1 구간에서 반드시 증가하는 구간이 생기므로
우미분계수가 0 이하라는 조건을 만족할 수 없어요.
나머지 일반적인 경우는 불가능해요.
Step 5. 마무리 계산
경우 (3)이 답인 경우이므로 f(x)의 식을 구해야 해요.
알고 있는 정보는 f'(-1)=f'(1)=0, f(-1)=-13, f'(0)=6이에요.
조건이 4개이고 삼차함수의 미지수도 4개이므로 f(x)가 결정돼요.
f'(-1)=f'(1)=0이므로 f'(x)는 (x+1)(x-1)을 인수로 가져요.
최고차항 계수가 음수이므로 다음과 같이 쓸 수 있어요.
f'(0)=6을 대입하면 A=-6이에요.
f(-1)=-13을 대입하면 C=-9에요.
따라서 f(x) = -2x³ + 6x - 9예요.
이제 k를 구해야 해요.
x=1에서 좌우 그래프가 붙어야 하므로 다음이 성립해요.
f(1) = -2 + 6 - 9 = -5이므로
k = -2f(1) = -2×(-5) = 10이에요.
f(1/2)은 f(x)식에 대입해 -25/4임을 알 수 있어요.
따라서 f(1/2) + k = -25/4 + 10 = -25/4 + 40/4 = 15/4이므로
정답은 ①이에요.
cf) 삼차함수 추론 문제에서 마무리 계산은 생각보다 중요해요.
추론이 잘 되어도 마지막 계산에서 방향을 잘못 잡으면 시간이 낭비돼요.
이전에 다룬 2026학년도 수능 21번처럼 직선과의 교점 조건을 연립방정식으로 세워 마무리하는 경우도 있고,
이 문제처럼 도함수로부터 적분해 f(x)를 알아내는 경우도 있어요.
두 방식 모두 연습해두어야 어떤 형태의 문제가 나와도 마무리까지 깔끔하게 처리할 수 있어요.
정리하며
이 문제는 크게 세 단계였어요.
극한식이 우미분계수임을 정확히 파악해 불연속 지점에서의 조건을 도출하고,
삼차함수 추론을 특수한 경우부터 시작해 가능한 형태를 좁히고,
마무리 계산으로 f(x)와 k를 결정하는 흐름이에요.
조건이 많아 보여도 읽어가며 하나씩 정리하면 방향이 보여요.
삼차함수 추론이 나올 때마다 겁부터 먹는다면,
가장 특수한 경우부터 시작해 안 되는 이유를 찾는 루틴을 반복해서 익혀두길 바라요.
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읽어주셔서 감사해요! 다음 글은 2025년 6월 수학 모의고사 21번으로 돌아올게요.
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