2025년 6월 모의고사 수학 22번 풀이 : 작도보다 연립이 먼저인 문제, 눈치챘나요?

 

두 함수 그래프를 먼저 그려보려다가 교점을 정확히 잡지 못해서 막혔나요?

x, y, k까지 미지수를 세 개나 세워놓고 식이 너무 복잡해져서

어디서부터 잘못됐는지도 모른 채 시간만 흘러갔나요?

 

이 문제는 그래프보다 두 식을 직접 연립하는 게 먼저예요.

2x 형태가 두 식에 공통으로 들어있다는 걸 포착하는 순간,

교점 A의 좌표가 깔끔하게 나와요.

 

반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.

 

글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.
수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.

 

 

 

22번 문제 원본

 

 

 

 

22번 문제의 정체 : 두 식을 연립해 교점을 구하고, 기울기 -1인 직선의 성질과 신발끈 공식으로 마무리하는 문제

 

이 문제를 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.

2의 x제곱이 공통으로 들어간 두 식을 연립해 교점 A를 구하고,

기울기가 -1인 직선의 좌표 합 성질로 점 B를 설정한 뒤

신발끈 공식으로 넓이를 구하는 문제

 

다른 지수함수 문제들과 달리 작도보다 연립이 먼저인 문제예요.

2x이 두 식에 공통으로 들어있다는 걸 보는 순간 방향이 정해져요.

 

 

 

풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트

(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)

 

① 작도보다 두 식의 연립을 먼저 의심했는가? 두 함수 모두 2x 형태가 공통으로 들어있고, 두 함수의 교점 A를 묻고 있어요. 2x를 하나의 미지수로 간주하면 이차방정식으로 바로 풀려요.

 

② 기울기가 -1인 직선의 성질을 활용해 미지수를 줄여 식을 세웠는가? 기울기가 -1인 직선 위 점들은 x좌표와 y좌표의 합이 모두 같아요. 이 성질을 활용하면 직선의 방정식을 따로 세울 필요 없이 좌표 합 식을 바로 쓸 수 있어요.

 

③ 세 점의 좌표가 나왔을 때 신발끈 공식으로 넓이를 구했는가? 세 점의 좌표를 알고 있을 때 삼각형 넓이를 구하는 가장 빠른 방법은 신발끈(사선) 공식이에요. 이 공식을 알고 있었다면 마무리 계산이 수월했을 거예요.

 

 

 

Step 1. 두 함수식의 연립 — 교점 A 구하기

 

문제에서 두 함수식을 주었어요.

하나는 기본 지수함수를 y방향으로 평행이동한 함수이고, 하나는 k가 곱해지고 더해진 함수예요.

 

다른 지수함수 문제였다면 먼저 그래프를 그렸겠지만,

이 문제는 달라요.

 

두 함수 모두 2^x 형태가 공통으로 들어있고, 두 함수의 교점 A의 좌표가 필요해요.

이 두 가지를 포착하는 순간 연립이 먼저라는 게 보여야 해요.

 

두 함수식을 연립하면 다음과 같아요.

 

 

 

2x = k/2를 만족하는 x값을 α라고 하면,

2α = k/2예요.

 

이 결과를 두 함수식 중 하나에 대입하면

x=α일 때 y좌표는 k예요.

 

 

 

따라서 A의 좌표는 (α, k)예요.

 

 

 

Step 2. 점 B 구하기 — 기울기 -1인 직선의 성질 활용

 

기울기가 -1인 직선 위 점들은 x좌표와 y좌표의 합이 모두 같아요.

이전에 다룬 2025년 9월 모의고사 22번에서도 활용했던 성질이에요.

직선의 방정식을 따로 세워 대입하는 과정 없이 좌표 합 식을 바로 쓸 수 있어요.

 

점 A를 지나고 기울기가 -1인 직선이 지수함수와 만나는 점이 B예요.

점 A와 점 B는 같은 직선 위에 있으므로 두 점의 x좌표와 y좌표 합이 같아요.

 

점 B의 좌표를 설정할 때는 미지수를 최대한 줄여야 해요.

점 B가 지수함수 위에 있으므로

x좌표를 b로 놓으면 y좌표는 지수함수에 x=b를 대입해 바로 표현할 수 있어요.

 

따라서 B의 좌표는 (b, 2b - 2 - 3)이에요.

 

점 A와 점 B의 좌표 합이 같다는 식을 세우면 다음과 같아요.

 

 

 

 

미지수가 α, k, b 세 개이므로 하나를 줄일 수 있는지 생각해봐야 해요.

 

Step 1에서 2α = k/2이었으므로 k = 2α+1이에요.

이 결과를 위 식에 대입하면 다음과 같아요.

 

 

 

우변도 좌변과 같이 지수와 숫자로 분리해보면

α = b - 3이라는 결론이 바로 보여요.

 

밑이 같은 지수식끼리 연산하면 이렇게 미지수의 값 대신 특수한 관계식이 나오는 경우가 많아요.

 

이 관계와 넓이 조건을 가지고 답을 구하면 돼요.

 

 

 

Step 3. 신발끈 공식으로 넓이 계산

 

삼각형 AOB의 넓이를 구해야 해요.

세 점 A(α, k), B(b, 2b - 2 - 3), O(0, 0)의 좌표를 모두 미지수로 표현한 상태예요.

 

세 점의 좌표를 알고 있을 때 넓이를 구하는 가장 빠른 방법은

신발끈(사선) 공식이에요.

 

 

 

여기서 step2의 결과로 α = b - 3이므로

b 대신 α + 3을 대입하면 다음과 같아요.

 

 

 

구해야 하는 것은 k에 대한 식이므로

α 대신 log2k - 1, 2α+1 대신 k를 대입하면 다음과 같아요.

 

 

따라서 p = 3, q = 35이므로 p + q = 38이에요.

 

---

 

정리하며

 

이 문제는 세 가지 포인트가 순서대로 연결된 문제였어요.

 

2x이 공통으로 들어있다는 걸 포착해 연립으로 교점 A를 구하고,

기울기 -1인 직선의 좌표 합 성질로 미지수를 줄여 점 B를 설정하고,

신발끈 공식으로 넓이를 마무리하는 흐름이에요.

 

각 포인트 자체는 어렵지 않아요.

시험장에서 이 흐름을 스스로 설계할 수 있었는지가 이 문제의 진짜 평가 기준이었어요.

 

 

 

 

 

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읽어주셔서 감사해요! 다음 글은 2025년 6월 수학 모의고사 미적분 28번으로 돌아올게요.