극한값이 존재하는지 확인하겠다고
a에 아무 숫자나 대입해가며 계산을 시작했나요?
분자에 절댓값까지 들어있는 걸 보고 어디서 시작해야 할지 몰라서 손을 놓았나요?
이 문제는 출발점이 하나예요.
분모가 0이 되는 지점을 먼저 찾는 것.
그 지점에서 좌극한과 우극한을 비교하면 나머지는 따라와요.
반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.
글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.
21번 문제의 정체 : 분모를 0으로 만드는 지점에서 좌·우극한을 비교해 g(x)를 결정하는 문제
이 문제를 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.
분모를 0으로 만드는 각 지점에서 좌·우극한이 일치하려면
분자의 인수 차수가 어떻게 되어야 하는지를 추적해 g(x)를 결정하는 문제
분자에 절댓값이 있어서 특별해 보이지만,
극한값 존재의 기본인 좌·우극한 비교라는 뼈대는 변하지 않아요.
풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트
(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)
① 분수식의 극한이 존재하려면 분모가 0이 되는 지점부터 조사했는가? 이전에 다룬 2026학년도 수능 13번에서도 강조했던 내용이에요. 분모가 0이 아닌 지점에서는 분모·분자가 연속인 조건 하에 무조건 수렴해요. 따라서 분모가 0이 되는 지점만 집중적으로 조사하면 돼요.
② 분자에 절댓값이 있어도 좌·우극한이 같아야 극한값이 존재한다는 기본 개념을 토대로 풀어갔는가? 절댓값이 있으면 좌·우극한에서 부호가 달라질 수 있어요. 그 부호가 달라지지 않으려면 분자의 인수 차수에 조건이 생겨요. 심화 개념을 몰라도 좌·우극한을 직접 비교하다 보면 이 결론에 도달할 수 있어야 해요.
③ g(1)=0 조사 결과를 토대로 g(2)=0도 빠르게 결론을 냈는가? 두 경우 모두 같은 과정을 따라가요. 앞선 경우를 이해했다면 뒷 경우는 같은 논리로 빠르게 결론을 내릴 수 있어야 해요.
Step 1. 극한값 유무의 기본 — 분모가 0이 되는 지점 조사 (극한식 (1))
문제에서 준 조건은 f(x)의 정확한 식과 g(x)가 최고차항의 계수가 1인 사차함수라는 것이에요.
그리고 극한식 (1)과 (2)가 모든 실수에서 수렴하도록 g(x)를 결정하라고 해요.
극한값 유무 조사의 출발점은 분모가 0이 되는 지점을 찾는 거예요.
이전에 다룬 2026학년도 수능 13번에서도 강조했던 태도예요.
분모가 0이 아닌 지점에서는 연속 조건 하에 무조건 수렴하니까,
분모가 0이 되는 지점만 집중적으로 살피면 돼요.
(1)과 (2) 중 (1)을 먼저 조사하는 게 바람직해요.
f(x) 식이 주어졌으니까 분모가 0이 되는 모든 지점을 바로 알 수 있거든요.
f(x) 식을 보면 그 지점은 x=1과 x=2예요.
x=1에서 좌·우극한을 살펴볼게요.
분자의 |f(x)|에서 절댓값을 벗길 때 부호를 판단해야 해요.
f(x) 식을 보면 x=1 근처에서
x>1이면 f(x)<0이고, x<1이면 f(x)>0이에요.
따라서 절댓값을 벗기면 좌·우극한의 부호가 달라져요.
모든 실수에서 극한값이 존재하려면 -g(1)과 g(1)이 같아야 해요.
따라서 g(1)=0이에요.
x=2에서도 같은 과정을 따라가면 동일한 결론이 나와요.
시험장에서는 같은 논리가 반복된다는 확신을 갖고 빠르게 g(2)=0으로 결론 내릴 수 있어야 해요.
극한식 (1)에서 얻은 결론 : g(1)=g(2)=0
Step 2. 극한값 유무의 기본 — 분모가 0이 되는 지점 조사 (극한식 (2))
이제 극한식 (2)를 조사할 차례예요.
Step 1과 마찬가지로 분모가 0이 되는 지점부터 찾을게요.
g(x)는 사차함수이므로 최대 4개의 지점에서 0이 될 수 있어요.
Step 1에서 x=1, x=2에서 g(x)=0임을 이미 알았으니 이 두 지점부터 조사하고 필요하면 나머지를 조사하면 돼요.
x=1에서 극한식 (2)를 조사할게요.
x=1에서 극한값을 가지려면 분자도 (x-1)을 인수로 가져야 해요.
이건 당연한 결론이에요.
f(1)=g(1)=0이므로 g(x)-f(x)=0의 근 중 하나가 x=1이고,
따라서 g(x)-f(x)는 반드시 (x-1)을 인수로 가져요.
g(x)-f(x)를 인수분해하면 최고차항의 계수가 1인 삼차식 h(x)를 이용해 다음과 같이 쓸 수 있어요.
이 결론을 (2)의 극한식에 대입하면 분자가 |(x-1)h(x)| 형태가 돼요.
이건 Step 1에서 |f(x)|의 절댓값을 벗길 때와 같은 구조예요.
x=1 근방에서 (x-1)의 부호가 좌·우에서 달라지니까,
다음과 같은 식이 성립해요.
h(1)≠0이면 Step 1과 똑같이 좌·우극한의 부호가 반대가 돼요.
따라서 h(1)=0이어야 해요.
h(x)=(x-1)k(x)로 쓸 수 있고, 이때 k(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차식이에요.
여기서 한 가지 짚고 넘어갈게요.
분모 g(x)는 (x-1)을 인수로 딱 한 번만 가지고 있어요.
g(x)=f(x)+(x-1)2k(x)인데 f(x)가 (x-1)2을 인수로 갖지 않으므로 g(x)도 (x-1)2을 인수로 갖지 않거든요.
따라서 h(x)=(x-1)k(x)를 대입하면 분자는 (x-1)2을 인수로 갖고, 분모의 (x-1)과 약분이 돼요.
좌·우극한을 계산하면 다음과 같아요.
분자가 (x-1)2을 인수로 가지므로 분모의 (x-1)과 약분되고,
좌·우극한이 모두 0으로 같아져요.
결론적으로 g(x)-f(x)가 (x-1)2을 인수로 가져야 해요.
x=2에서도 같은 과정을 따라가면
k(x)가 (x-2)를 인수로 가져야 한다는 결론이 나와요.
k(2)≠0이면 좌·우극한의 부호가 반대가 되므로 k(2)=0이어야 하고,
같은 이유로 k(x)가 (x-2)2을 인수로 가져야 해요.
지금까지 g(x)-f(x)의 인수 구조가 모두 결정됐어요.
f(x)는 이미 주어졌으니, 이제 g(x)를 구한 거예요.
Step 3. 마무리 계산
g(x)-f(x)의 인수 구조를 정리하고
f(x)를 넘겨서 구한 g(x) 식은 다음과 같아요.
따라서 g(-1)=42예요.
정리하며
이 문제는 극한값 존재의 기본 태도 하나로 풀어낸 문제예요.
분모가 0이 되는 지점을 찾고,
그 지점에서 좌·우극한이 일치하려면 분자의 인수 차수가 어떻게 되어야 하는지를 추적하는 과정이 전부예요.
분자에 절댓값이 있어도 이 틀은 변하지 않아요.
참고로 미분 가능성 문제에서도 절댓값이 있는 경우 인수의 차수가 핵심이에요.
이번에 그 감각을 익혔다면, 비슷한 상황에서 훨씬 빠르게 방향을 잡을 수 있을 거예요.
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읽어주셔서 감사해요! 다음 글은 2025년 6월 모의고사 수학 22번으로 돌아올게요.
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