도형 문제가 나오면 일단 겁부터 먹고,
뭘 표시해야 할지도 모른 채 멍하니 그림만 바라보다 시간을 다 썼나요?
아니면 길이비까지는 구했는데 마무리 계산에서 방향성을 못 잡아서
이것저것 시도하다 시간만 낭비했나요?
도형 문제는 루틴이 있어요.
조건을 읽으며 표시할 것을 표시하고, 마무리 계산 방향을 정하고 실행하는 것이에요.
루틴만 있었다면 이 문제는 전형적인 사인·코사인 법칙 활용 문제예요.
반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.
글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.
14번 문제의 정체 : 사인법칙 · 외접원 반지름 · 넓이 최대화
조건에 보이는 대로 표시하고,
외접원 반지름으로 실제 길이로 전환하라.
이번 도형 문제에서 당황하지 않으려면 두 가지 태도가 필요해요.
첫째, 조건을 읽으며 보이는 대로 표시할 것을 표시해요.
사인비는 대변 길이비로, 넓이비는 끼인각 공식으로, 원이 나오면 반지름이 같다는 성질을 바로 활용해요.
둘째, 외접원의 반지름이 주어지면 사인법칙을 떠올려요.
이 문제에서는 모든 길이비를 실제 길이로 전환해요.
이 두 가지 흐름만 잡히면 나머지 계산은 따라와요.
풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트
(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)
① 같은 삼각형 안에서 사인비를 대변 길이비로 전환했는가? 사인법칙을 알고 있는 것과 문제에서 꺼낼 수 있는 것은 달라요. 사인비 조건이 나오면 즉시 대변 길이비로 연결되는 경험이 쌓여 있어야 해요.
② 외접원 반지름 조건을 보고 사인법칙으로 길이비를 실제 길이로 전환했는가? 외접원 반지름의 실제 값이 주어지면 사인법칙에 대입해 모든 길이비를 실제 길이로 바꿀 수 있어요. 이 연결을 바로 떠올려야 해요.
③ 삼각형 PBC의 넓이가 최대인 점 P의 위치를 잡았는가? 선분 BC가 고정되어 있을 때 높이가 최대인 점이 어디인지 직관 또는 경험으로 바로 잡아야 해요. 그 다음 삼각형 ABC의 높이를 구하는 것까지 이어져야 해요.
Step 1. 조건 읽으며 — 사인비·넓이비로 길이비 뽑아내기
도형 문제의 기본은
조건을 읽으며 보이는 대로 그림에 표시하는 거예요.
이 문제에서 표시해야 할 것은 세 가지예요.
선분 AD : 선분 DB = 3:2
선분 AD의 길이비를 3으로 고정하면
이후 모든 비율이 이 기준으로 맞춰져요.
sinA : sinC = 8:5
삼각형 ABC 안에서 두 각의 사인비예요.
사인법칙에 의해 대변인 선분 BC : 선분 AB = 8:5예요.
삼각형 ADE : 삼각형 ABC = 9:35
두 삼각형이 각 A를 공통으로 가지고 있어요.
끼인각이 같을 때 넓이비는 두 변의 길이의 곱의 비예요.
선분 AC의 길이비가 7에 해당하므로
선분 AE = 3, 선분 EC = 4임을 알 수 있어요. (길이비)
Step 2. 외접원 반지름 조건 — 길이비를 실제 길이로 전환
삼각형 ABC의 외접원 반지름 R = 7이라는 조건을 보는 순간 두 가지가 떠올라야 해요.
사인법칙에 외접원 반지름 R이 들어있다는 것,
그리고 삼각형 ABC의 세 변의 길이비가 이미 확정되었으므로
코사인 법칙으로 각의 코사인값을 구할 수 있다는 것이에요.
코사인 법칙으로 cosA를 구하고, sinA를 이어서 구한 뒤 사인법칙으로 k를 구할게요.
모든 길이비에 k를 곱하면 실제 길이로 전환돼요.
k가 나왔으므로 모든 길이비가 실제 길이로 전환됐어요.
Step 3. 넓이가 최대인 점 P 찾기 — 삼각형 ABC의 높이 구하기
삼각형 PBC에서 선분 BC는 고정이에요.
넓이가 최대가 되려면 높이가 최대여야 해요.
점 A에서 선분 BC에 수선의 발 점 H를 내렸을 때,
직선 AH와 원 O의 교점 중 선분 AH를 연장한 쪽의 점이 바로 점 P예요.
이때 선분 PH가 최대 높이가 돼요.
선분 PH = 선분 AH + 원 O의 반지름이에요.
원 O의 반지름은
step2에서 k를 구하며 함께 나왔어요.
선분 AH는
삼각형 ABC에서 넓이를 두 가지 방법으로 표현해 같다고 놓으면 구할 수 있어요.
원 O의 반지름은 3루트3이므로
선분 PH를 구하고 삼각형 PBC 넓이의 최댓값을 계산하면 다음과 같아요.
따라서 정답은 ④예요.
정리하며
이 문제는 도형 문제의 전형적인 흐름이었어요.
조건을 읽으며 사인비·넓이비를 길이비로 전환하고,
외접원 반지름으로 실제 길이로 바꾸고,
넓이가 최대인 점의 위치를 잡아 마무리하는 순서예요.
도형 문제가 약하다고 느끼는 학생들은
이전에 다룬 도형 관련 풀이들을 다시 읽어보는 것만으로도 많은 도움이 돼요.
파도법칙에서 다룬 도형 문제들
— 2026학년도 수능 14번, 2025년 9월 모의고사 22번, 2026년 3월 모의고사 14번 —
에서 해야 할 행동들을 정리해두면 새로운 도형 문제에서 흔들리지 않아요.
기출 도형 문제는 창의성을 요구하지 않아요.
배웠던 것들을 조건에서 꺼내는 경험을 쌓는 것이 전부예요.
겁먹지 말고, 보이는 것부터 표시하는 루틴을 만들어두세요.
댓글로 편하게 남겨주세요.
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다음 글은 2025학년도 수능 수학 15번으로 돌아올게요. 읽어주셔서 감사해요!
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