2025학년도 수능 수학 21번 풀이 : 극한값 수렴 조건·삼차식 — 함수 추론 없이 근의 관계만으로 풀려요

 

극한값이 존재한다는 조건을 보고

"뭔가 추론해야 하는 문제구나"라고 생각해서 복잡한 함수 추론으로 끌고 간 적 있나요?

 

아니면 분모가 0이 되는 지점을 조사해야 한다는 건 알았는데,

그 조건이 f(x)의 근 구조 전체를 결정한다는 데까지 연결하지 못해서 멈췄나요?

 

이 문제는 함수 추론이 필요 없어요.

극한값 수렴 조건 하나에서 f(x)의 근이 -1뿐이라는 결론이 나오고,

나머지는 삼차식을 정리하면 끝이에요.

 

반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.

 

글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.

수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.

 

 

 

2025학년도 수능 수학 21번 문제 원본

 

 

 

 

 

21번 문제의 정체 : 극한값 수렴 조건 · 근의 연쇄 관계 · 정수 조건

 

분모가 0이 되는 지점에서 시작하면,
복잡한 함수 추론 없이 f(x)의 근 구조가 결정된다.

 

 

분모를 0으로 만드는 x=k에서 분자도 0이 되어야 극한값이 존재해요.

 

이 조건 하나가 f(x)의 근에 연쇄 관계를 만들고,

그 연쇄가 무한히 이어지지 않으려면 근이 -1뿐이어야 한다는 결론으로 이어져요.

 

삼차식이라는 조건과 a, b가 정수라는 조건이

k의 범위를 최종적으로 좁혀줘요.

 

 

 

 

풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트

(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)

 

① 극한값 수렴 조건에서 분모가 0이 되는 지점을 바로 조사했는가? 분모가 0이 되는 x에서 분자도 0이 되어야 하고, 해당 인수가 약분되어야 극한값이 존재해요. 이 문제의 모든 흐름이 여기서 시작돼요.

 

② 근의 연쇄 관계가 무한히 이어지지 않으려면 어떤 조건이 필요한지 파악했는가? f(k)=0이면 f(2k+1)=0이고, 이 관계가 반복되면 근이 무한히 늘어나요. 삼차식이므로 근이 최대 3개여야 하고, 연쇄가 끊어지려면 k=2k+1이어야 해요.

 

③ a, b가 정수라는 조건을 끝까지 챙겼는가? 풀이 초반에 표시해두지 않으면 마지막 k의 범위를 구할 때 정수 조건을 빠뜨릴 수 있어요.

 

 

 

 

Step 1. 극한값 수렴 조건 — 근의 연쇄로 f(x)의 근 결정

 

먼저 a, b가 정수라는 조건을 문제지에 표시하고 시작해야 해요.

마지막에 반드시 쓰이는 조건이에요.

 

이런 사소한 조건들은 꼭 표시하고 인지하는 습관이 필요해요!

 

극한값이 존재하려면 분모가 0이 되는 x에서 분자도 0이 되어야 해요.

 

분모 f(x)=0의 근이 k라면,

분자 f(2k+1)도 0이어야 해요.

 

즉 f(k)=0이면 f(2k+1)=0이에요.

 

그런데 f(2k+1)=0이라는 것은 2k+1도 f(x)=0의 근이라는 뜻이에요.

 

같은 논리를 반복하면 2(2k+1)+1=4k+3도 근이 되고,

이 연쇄가 무한히 이어져요.

 

f(x)는 삼차식이므로 근이 최대 3개예요.

연쇄가 무한히 이어지지 않으려면 k=2k+1이어야 해요.

이를 풀면 k=-1이에요.

 

따라서 f(x)=0의 근은 -1 외에 없어요.

이 결론 하나로 f(x)의 구조가 거의 확정돼요.

 

 

 

 

Step 2. f(x) 식 작성 — 판별식과 정수 조건으로 k 범위 결정

 

f(x)=0의 근이 -1뿐이고,

상수항이 4임을 이용해 인수분해하면 다음과 같아요.

 

 

 

나머지 이차방정식 x^2+kx+4=0은 근이 없거나,

있다면 -1로 중근이어야 해요.

 

그런데, -1을 중근으로 갖으려면 이차식이 (x+1)의 제곱이어야 해요.

상수항만 봐도 아니라는 것을 알 수 있죠.

 

따라서 이차식은 반드시 근이 없어야 해요.

 

판별식 조건을 적용하면 다음과 같아요.

 

 

 

 

이제 정수 조건을 바탕으로

k의 조건을 챙길 차례예요.

 

a, b를 k로 표현하면 다음과 같아요.

 

 

 

 

a, b가 정수이면 k도 정수예요.

 

따라서 k는 -4<k<4를 만족하는 정수,

즉 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 중 하나예요.

 

 

 

Step 3. f(1)의 최댓값 — 답 구하기

 

f(1)을 k로 표현하면 다음과 같아요.

 

 

 

 

f(1)은 k가 최대일 때 최대예요.

k=3이면 f(1) = 2×3+10 = 16이에요.

 

따라서 정답은 16이에요.

 

---

 

참고 — 극한값이 실제로 존재하는지 점검

 

k가 위 범위에 있을 때 극한값이 모든 실수에서 존재하는지 확인할게요.

 

 

 

식만 대입해봐도 알 수 있어요.

 

분모 x2+kx+4=0의 근이 없으므로,

f(x)를 약분한 뒤 남은 분모가 0이 되는 x가 존재하지 않아요.

따라서 모든 실수 α에서 극한값이 존재해요.

 

---

 

정리하며

 

이 문제는 극한값 수렴 조건 하나에서 출발해 f(x)의 근 구조를 결정하는 문제였어요.

 

복잡한 함수 추론 없이,

분모가 0이 되는 지점에서 시작해 근의 연쇄 관계를 따라가면

f(x)=0의 근이 -1뿐이라는 결론이 나왔어요.

이후 판별식과 정수 조건이 k의 범위를 좁혀줬어요.

 

극한값 수렴 조건이 나오면 항상 분모가 0이 되는 지점부터 조사하는 태도,

이 습관 하나가 이런 문제에서 방향을 바로 잡아줘요.

 

 

 

 

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다음 글은 2025학년도 수능 수학 22번으로 돌아올게요. 읽어주셔서 감사해요!