2025학년도 수능 수학 미적분 29번 풀이 : 등비수열·급수 조건 — 수열은 나열하면 규칙이 보이고, 두 항씩 묶으면 끝나요

 

절댓값이 붙은 수열 식을 보는 순간 어디서 시작해야 할지 몰라서 멈춘 적 있나요?

부등식에서 (-1)의 k승 같은 항이 나오면 당황해서 식을 분석하려다가 시간만 쓰고,

정작 k를 1부터 대입해보는 시도조차 못 한 적 있나요?

 

이 문제는 수열의 가장 기본적인 태도인 나열에서 풀려요.

조건식 두 개로 등비수열을 확정하고,

부등식에서 k를 직접 대입해 규칙성을 발견하면 두 항씩 묶어 등비급수로 처리할 수 있어요.

 

반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.

 

글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.

수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.

 

 

 

2025학년도 수능 수학 29번 문제 원본

 

 

 

 

29번 문제의 정체 : 절댓값 급수 조건 · 나열로 규칙 발견 · 두 항씩 등비급수

 

당황하지 말고 나열하라.
규칙이 보이면 두 항씩 묶어 등비급수로 전환하면 끝인 문제.

 

 

절댓값이 포함된 급수 조건식 두 개에서

공비 r이 음수임을 먼저 파악하고, an을 확정해요.

 

이후 부등식에서 k를 1부터 직접 대입해 4개 항마다 부호가 반복되는 규칙을 발견하면,

두 항씩 묶어 공비가 -1/4인 등비급수로 전환해 계산을 마무리해요.

 

 

 

 

풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트

(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)

 

① 공비 r이 음수임을 계산 전에 알아챘는가? 두 조건식의 결과가 0이 아니라는 것만 보고, 절댓값이 벗겨질 때 +와 -가 번갈아 나와야 한다는 것을 파악할 수 있어야 해요.

 

② 부등식에서 k를 1부터 직접 대입해 규칙성을 발견했는가? 낯선 식이 나와도 당황하지 않고 숫자를 대입해 나열하는 습관이 있어야 해요. 4개 항마다 부호가 반복되는 규칙이 바로 보여요.

 

③ 두 항씩 묶어 등비급수로 전환했는가? 2n으로 급수 범위가 주어졌을 때, 두 항씩 묶으면 공비가 -1/4인 등비수열이 된다는 것을 관찰할 수 있어야 해요.

 

 

 

 

Step 1. 공비 r이 음수 — an 확정

 

첫 두 급수식을 보면 |an|과 an을 더하고 뺀 형태예요.

두 식의 계산 결과가 0이 아니에요.

 

절댓값을 벗길 때 부호가 항상 같다면 한 급수식은 0이 되어버려요.

따라서 +와 -가 번갈아 나와야 하고,

이를 위해 공비 r은 음수여야 해요.

계산 없이 조건만 보고 파악할 수 있는 부분이에요.

 

이제 홀수 번째 항이 양수인지 짝수 번째 항이 양수인지에 따라 경우를 나눌게요.

 

① a1 > 0인 경우

 

 

 

이 등비급수가 수렴하려면 공비가 r의 제곱이니까 다음의 조건을 만족시켜야 해요.

 

 

같은 방식으로 두 번째 급수식도 계산하면 결과는 다음과 같아요.

 

 

a2=r×a1이므로 대입하면

 

 

 

r이 -1과 1 사이에 있으므로 가능한 경우예요.

 

② a1 < 0인 경우

 

 

이 등비급수가 수렴하려면 공비가 r의 제곱이니까 다음의 조건을 만족시켜야 해요.

 

 

같은 방식으로 두 번째 급수식도 계산하면 결과는 다음과 같아요.

 

a2=r×a1이므로 대입하면

 

 

 

r이 -1과 1 사이에 없으므로 이 경우는 불가예요.

 

따라서 an이 공비 -1/2, 첫째항 5인 등비수열로 확정돼요.

 

 

 

 

Step 2. 부등식 해석 — 나열해서 규칙 발견, 두 항씩 묶기

 

부등식에 (-1)의 k승 형태가 포함된 식이 나와요.

낯설게 보여도 당황할 필요 없어요.

k를 1부터 직접 대입해 나열하면 규칙이 반드시 나와요.

 

 

 

 

4개 항마다 부호가 반복되는 규칙이 보여요.

-가 두 번, +가 두 번 반복되는 패턴이에요.

 

4개씩 묶으면 공비가 r의 4제곱인 등비수열로 처리할 수 있어요.

 

그런데 2n으로 범위가 주어진 이유를 생각해보면,

두 항씩 묶었을 때 규칙성이 더 자연스럽게 보여요.

두 항씩 더한 결과는 공비가 -1/4인 등비수열이 돼요.

 

 

 

 

급수식에서 두 항을 건너뛸 때마다 부호가 바뀌고 공비가 두 번 곱해지는 규칙이 있어서 그래요.

 

규칙을 못 봤어도 관찰만 해봤을 때 바로 알 수 있어요.

 

2n으로 준 이유를 한 번 생각해보면 이렇게 쉽게 해결돼요.

그러나, 시험때 못 본 학생들은 그래도 4개씩 묶어서 답을 냈어야 해요.

4개씩 묶었을 때 등비수열인 것은 여전히 성립하거든요.

 

단, 2n이라는 짝수를 4로 나눴을 때 나머지가 2인 경우와 0인 경우로 나눠보긴 해야 돼요.

직접 해 보고 안 되는 학생들이 있다면 댓글 남겨주시면 바로 알려 드릴게요.

 

 

 

Step 3. 마무리 — 부등식 풀기

 

am+1이 어떤 음수보다 작으려면 am+1이 음수여야 해요.

an의 부호를 보면 홀수 번째 항이 양수, 짝수 번째 항이 음수예요.

따라서 m+1이 짝수, 즉 m은 홀수예요.

 

m이 홀수일 때 부등식을 풀면 다음과 같아요.

 

 

 

가능한 m의 값은 1, 3, 5, 7, 9예요.

모두 더하면 1+3+5+7+9 = 25예요.

 

따라서 정답은 25예요.

---

 

정리하며

 

이 문제는 수열의 가장 기본적인 태도가 정확히 들어맞는 문제였어요.

 

공비 r이 음수임을 계산 전에 파악하고,

부등식에서 k를 직접 대입해 규칙을 나열하고,

두 항씩 묶어 등비급수로 전환하는 세 단계가 모두 나열이라는 하나의 태도에서 출발해요.

 

낯선 식이 나올 때 당황하지 않고 숫자를 대입하는 습관,

이 습관 하나가 이 문제뿐만 아니라 어떤 수열 문제에서도 방향을 잡아줘요.

 

 

 

 

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