2026학년도 수능 수학 22번 풀이 : 그래프가 아니라 '전환 타이밍'을 묻는 문제

 

이 문제를 받아든 순간, 아마 이렇게 시작했을 거예요.

 

교점을 직접 계산해보거나, 닮음을 찾아보거나, 보조선을 그어보거나.

 

그런데 어느 방향으로 가도 막혀요. 계산이 안 되거나, 좌표가 깔끔하게 안 나오거나. 결국 시간만 흘러가요.

 

이 문제는 그래프를 그리는 문제처럼 생겼지만, 실제로는 언제 그래프를 포기하고 식으로 넘어갈지를 묻는 문제예요.

그 전환 타이밍을 잡는 게 이 문제의 전부예요.

 

반드시 문제지를 옆에 두고, 본인 풀이를 먼저 해본 뒤 사고 과정을 비교하는 방식으로 읽어주세요.

 

글쓴이 : 경희대학교 한의예과 재학. 과학고 졸업, 수리논술 합격.

수험생으로서 직접 통과한 사고 과정을 전달하는 블로그를 운영하고 있어요.

 

 

2026학년도 수능 수학 22번 원본

 

 

 

22번 문제의 정체 : 그래프로 시작하지만 연립방정식으로 끝내는 문제

 

이 문제를 한 문장으로 정리하면 다음과 같아요.

그래프 작도로 기하 풀이를 배제한 뒤,

연립방정식으로 전환해 푸는 문제

 

문제 전체에 함수식과 좌표가 포함되어 있어서 그래프를 그리는 것이 자연스러운 시작이에요.

하지만 결론부터 말하면, 그래프는 "기하 풀이가 안 된다"는 걸 확인하기 위한 도구예요.

 

이 문제는 결국 연립방정식 문제예요.

따라서 그래프와 식을 유연하게 상호전환할 줄 알아야 해요.

 

 

 

풀기 전에 점검해야 할 사고 체크리스트

(공식이 아니라, 시험장에서 자동으로 돌아가야 하는 사고 습관이에요.)

 

① 지수함수와 로그함수를 그릴 때 정점과 점근선을 표시했는가? 익숙한 함수라도 평행이동이나 상수항이 포함되면 위치 관계가 미세하게 달라져요. 정점과 점근선을 표시하지 않으면 이 차이를 놓치고, 그래프를 근거로 한 판단이 왜곡돼요.

 

② y=x와 중점을 위치 관계에 맞게 그렸는가? 점의 좌표를 실제로 대입해서 그래프의 위·아래 관계를 확인해야 해요. 위치 관계가 틀리면 이후 계산이 맞아도 완전히 다른 답이 나와요.

 

③ 그래프에서 식으로의 전환이 적절한 타이밍에 이루어졌는가? 충분히 시도해봤지만 기하 풀이가 막혔다면, 너무 늦기 전에 식 계산으로 넘어가야 해요. 이 전환 판단이 이 문제의 핵심이에요.

 

 

 

Step 1. 그래프 작도 — 정점과 점근선부터

 

지수함수와 로그함수를 그릴 때 반드시 표시해야 하는 두 가지가 있어요.

정점과 점근선이에요.

 

정점은 지수함수에서는 지수를 0으로 만드는 x값, 로그함수에서는 로그항을 0으로 만드는 x값을 계산해 얻어요.

점근선은 지수함수에서는 y방향 평행이동값, 로그함수에서는 진수를 0으로 만드는 x값으로 얻어요.

 

이 문제에서 두 함수의 정점과 점근선을 계산하면 다음과 같아요.

 

 

정점과 점근선을 포함해서 두 함수를 그려 넣고

다음 단계로 넘어가면 돼요.

 

 

 

Step 2. y=x와 중점 추가 — 위치 관계 확인

 

이제 y=x와 중점을 그려 넣을 차례예요.

이때 앞서 그린 두 함수 그래프와의 위치 관계를 명확히 나타내야 해요.

 

그래프 단계에서는 추가 계산 없이 확인 가능한 정보는 모두 확보해둬야 해요.

이 정보들이 이후 식 전환의 판단 근거가 돼요.

 

점이 있다면 그래프의 위·아래·포함 중 어디에 있는지, 그래프가 추가된다면 위·아래나 교점이 어디인지를 파악하면 충분해요.

 

문제에서는 제1사분면만 고려하면 돼요.

y=x를 그리는 과정은 다음과 같아요.

 

 

 

 

 

---

그리다 보면 여러 궁금증이 생길 수 있어요.

 

예를 들어 지수함수와 로그함수의 교점이 y=x보다 위에 있는지 의문이 들 수 있어요.

하지만 그 방향은 시간 낭비예요.

지수함수와 로그함수의 교점은 일반적으로 계산이 불가능하고, 많은 점을 대입해야 범위를 추정할 수 있어요.

필요한 경우에만 계산한다고 생각하고 넘어가야 해요.

 

정점, 점근선, 축과의 교점까지를 1차 범위로 두고, 그 이상은 식 전환 이후에 판단하는 게 효율적이에요.

 

---

 

중점을 위치시키는 과정은 다음과 같아요.

 

 

그래프 작도 중간 점검

 

 

여기에 점 A의 y=x 대칭점이 직선 OB 위에 있다는 정보까지 표시하면 최종 그래프가 완성돼요.

 

 

최종 그래프 작도 점검

 

 

 

Step 3. 기하 풀이 배제 — 식으로 전환할 타이밍

 

그래프를 그린 뒤 여러 시도를 했을 거예요.

점 A의 y=x 대칭점을 A'이라 하면,

선분 AA'을 y=x가 수직이등분한다고 표시해보거나, 중점을 이용해 닮음을 만들어보거나.

다양한 시도가 가능해요.

 

하지만 결론은 "기하적 풀이가 아니다"여야 해요.

중점의 좌표가 계산이 편리한 값이 아니고, 점 B도 좌표가 없어서 길이로 접근이 어려워요.

 

그래프를 그릴 때마다 염두에 둬야 하는 게 있어요.

어떤 점이 함수 위에 있으면, 그 점의 좌표를 함수에 대입해 계산할 수 있다는 것이에요.

 

기하 풀이가 막혔으니 이렇게 생각해야 해요.

A(a,b)를 로그함수에 대입하고, B의 좌표를 미지수로 잡아 지수함수에 대입하는 거예요.

 

이제부터는 B의 좌표를 어떻게 잡을지를 생각하고 식 계산으로 들어가야 해요.

 

 

 

Step 4. B의 좌표 잡기 — 기울기를 이용한다

 

점 B의 좌표를 새로운 미지수 두 개로 설정할 수도 있어요.

그러면 계산을 좀 더 해서 최종 결론은 똑같이 나와요.

 

하지만 문제에서 굳이 직선 OB 위에 점 A'이 있다고 줬고, B의 좌표를 따로 주지 않았다면

A(a,b)를 이용해 표현해볼 필요가 있어요.

 

O, B, A'이 한 직선 위에 있다는 건 직선 OB의 기울기와 직선 OA'의 기울기가 같다는 뜻이에요.

한 직선 위의 세 점이 주어졌을 때 기본은 두 점씩 잡아 기울기가 같음을 이용하는 거예요.

특히 원점이 포함된 경우에는 더욱 기울기를 이용해야 해요.

 

 

A'(b,a)가 원점 O와 이루는 기울기는 a/b이고, 직선 OB의 기울기도 a/b예요.

 

 

한 직선 위의 세 점

 

 

따라서 실수 n을 설정하면(n≠0), **B(nb, na)**로 표현할 수 있어요.

여기서 목표는 B의 좌표를 지수함수에 대입하는 것임을 잊지 말아야 해요.

 

 

 

Step 5. 연립방정식 풀기 — 지수방정식의 특수성

 

A와 B의 좌표를 대입하기 전에, 지수가 포함된 방정식의 특성을 짚고 갈게요.

 

식의 개수와 미지수의 개수가 같다고 해서 항상 쉽게 풀리는 건 아니에요.

특히 지수에 미지수가 포함된 연립방정식은 일반적인 해법으로 정리하기 어려워요.

수능에서 이런 형태가 나왔다면, 일반해를 묻는 게 아니라 특정한 상수값으로 귀결되도록 설계된 거예요.

이 믿음을 갖고 식을 변형해야 해요.

 

A(a,b)를 로그함수에, B(nb,na)를 지수함수에 대입하면 두 식을 얻어요.

 

 

 

로그가 포함된 방정식은 변형의 편리를 위해 지수 형태로 바꿔줘요.

 

이제 두 식의 밑을 통일하는 방향으로 변형하면 자연스럽게 n=2라는 결론이 나와요.

 

 

밑이 다른 지수식이 연립되어 있을 때,

한쪽의 밑을 다른 쪽에 맞춰 변환하면 형태가 같아지면서 비교가 가능해지거든요.

 

 

 

 

---

 

여기서 두 가지 의문이 생길 수 있어요.

 

"식이 2개인데 미지수가 3개(a, b, n)면 어떻게 풀어?"

 

사실 식이 4개예요. 중점 조건에서 x좌표식 1개, y좌표식 1개가 추가되거든요.

그런데 미지수가 3개이니 4개 중 2개는 같은 식이에요.

그래서 지수식 2개가 사실 같은 식이고, n만 값이 결정되는 구조예요.

 

이런 생각을 못 했더라도 n은 반드시 나와야 해요.

문제가 정확한 값을 요구하고 있으니, 특정 상수값으로 귀결되도록 설계되어 있거든요.

 

"n=2가 보인다고 했는데, 우연히 나온 건 아닌가?"

 

우연히 나온 것과 생각해서 나온 것은 하늘과 땅 차이예요.

"지수방정식은 특수한 해로 귀결된다"는 인식을 갖고 식을 변형한 것과,

그냥 계산하다 보니 나온 것은 비슷한 문제들에서 완전히 다른 결과를 낳아요.

 

---

 

 

Step 6. 마무리 계산

 

n=2이므로 B(2b, 2a)예요.

중점 조건을 이용하면 답을 구할 수 있어요.

 

따라서 정답은 457이에요.

 

---

 

정리하며

 

이 문제의 핵심은 세 가지였어요.

 

지수·로그함수 그래프를 그릴 때 정점과 점근선을 반드시 표시하는 것,

기하 풀이가 막혔을 때 너무 늦지 않게 식 계산으로 전환하는 것,

지수방정식은 특수한 값으로 귀결된다는 믿음을 갖고 변형하는 것.

 

그래프를 그리지 않았어도 되지 않냐고 묻는 학생들이 있어요.

계산 자체에 직접적인 영향은 없지만, 풀이 방향을 결정하는 데 필수적인 과정이에요.

시험장에서 이런 형태의 문제가 나오면 무조건 그래프부터 그릴 수밖에 없어요.

 

따라서 그래프를 정확히 그리고, 적절한 타이밍에 식 계산으로 전환하는 것이 이 문제의 실전적인 풀이예요.

 

 

 

댓글로 편하게 남겨주세요.

• 다루길 원하는 다른 문제나 콘텐츠
• 이해가 안 된 부분
• 글에 대한 자유로운 피드백

 

 

과외 상담이나 학습 문의는 아래 오픈채팅으로 편하게 연락주세요.

수학 1~2등급을 목표로 하는 고등학생, 재수생을 대상으로 개인 과외 및 학습 상담을 진행하고 있어요.

단순 문제 풀이가 아니라 사고 과정과 풀이 방향성을 함께 잡아드려요.

온라인 비대면 또는 오프라인으로 진행해요.

 

https://open.kakao.com/o/sRN1e5ii

파도법칙 - 1:1 문의님의 오픈프로필

 

읽어주셔서 감사해요! 다음 글은 2026학년도 수능 수학 미적분 28번으로 돌아올게요.